Puisqu'une telle descente infinie est impossible, notre hypothèse de départ (x est rationnel) ne peut être vraie (il n'existe pas deux entiers dont le quotient soit égal au nombre d'or). Par conséquent, on a bien montré que le nombre d'or est irrationnel.
Les origines du nombre d'or
Ils s'en servaient pour construire des pentagones à l'aide de triangles isocèles. A cette époque, il n'est pas utilisé de manière arithmétique puisque les pythagoriciens pensent que tout nombre est rationnel, or la proportion dorée ne l'est pas.
La démonstration
Supposons par l'absurde que √2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme ab où a et b sont des nombres entiers relatifs. On a alors √2=ab. Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).
Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents.
Les nombres parfaits sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs. Ainsi, 6 se divise par 2, 3 et 1. En additionnant 2, 3 et 1, on arrive à 6 ! Même chose pour 28, somme de 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Le mathématicien italien Leonardo Pisano, dit Fibonacci, né en 1175, est parvenu à élaborer une suite, que l'on appelle communément la suite de Fibonacci. Elle repose sur le fait de diviser un terme par le précédent, chaque nouveau résultat s'approchant de plus en plus… du nombre d'or.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
La transcendance de Π provient directement du théorème de Hermite-Lindemann. En effet : Sup- posons que Π soit algébrique, alors iΠ l'est également, donc eiΠ = −1, est transcendant, ce qui est absurde. Donc Π est transcendant.
C'est ce qui est contraire et échappe à toute logique ou qui ne respecte pas les règles de la logique. C'est la difficulté de l'Homme à comprendre le monde dans lequel il vit. L'absurde peut être lié à une réaction comique ou tragique.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Définition de absurde
➙ déraisonnable, inepte, insensé.
Lorsqu'on décompose un objet en deux parties inégales, on dit que la proportion est divine, ou dorée, si le rapport entre la grande partie et la petite est le même que le rapport entre le tout et la grande partie. La simplicité de cette définition explique l'omniprésence de Phi.
Le nombre d'or est considéré comme une formule universelle de la beauté, une proportion divine. C'est ainsi que de nombreux artistes, architectes, peintres, designers l'ont utilisé et l'utilisent encore pour la création de leurs œuvres. Ses qualités de proportions et d'équilibre séduisent depuis plusieurs siècles !
Ainsi la présence des nombres de Fibonacci dans les spirales des plantes est la signature du fascinant nombre d'or. Sa difficulté particulière à être approché par des fractions lui a valu d'être sélectionné par l'évolution naturelle de nombreux végétaux.
Ici, le nombre donné √4 est égal à 2 ; le nombre 2 est un nombre entier et les nombres entiers sont toujours rationnels. En outre, il peut être exprimé sous forme de fraction comme 2 ⁄ 1, ce qui signifie qu'il s'agit d'un nombre rationnel. Par conséquent, √4 n'est pas un nombre irrationnel .
A- L'irrationnel comme moteur du rationnel
C'est là que le principe rationnel de l'âme humaine fait preuve de sa dignité, et se manifeste. L'irrationnel est donc à penser sur le modèle hégélien du "travail du négatif": il se révèle en effet comme étant le moteur du rationnel.
L'homme ne refuse pas d'être rationnel, il ne le peut tout simplement pas presque par "nature". Le fait qu'il soit un Homme implique qu'il a deux facettes, l'une rationnelle est l'autre de l'ordre de l'émotion, c'est justement l'émotion qui l'empêchera d'être tout a fait rationnel.
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Un nombre réel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un entier suivi d'un nombre fini ou infini de décimales (chiffres après la virgule). Les nombres entiers, les fractions sont des nombres réels. Exemple : Pi est un nombre réel.
Les réels non rationnels sont appelés irrationnels.
Pour n = 1, on retrouve le nombre d'or: 1,618 … Le fait que Pi soit proche de 2 Phi incite à chercher une relation plus approchée de ces valeurs.
Le nombre Pi est la plus célèbre constante mathématique. Il s'agit d'une « constante », car il correspond au rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. La plupart des gens connaissent sa base — 3,14 — mais ensuite cela se corse : et pour cause, c'est un nombre infini.
Le symbole Φ (lettre grecque Phi) ne lui a été attribué qu'au début du 20e siècle. Il est communément appelé nombre d'or ou divine proportion. En ce qui concerne sa formule mathématique, elle peut s'écrire de plusieurs manières .