L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...).
L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Les ensembles N et Z sont inclus dans l'ensemble D (car tous les entiers sont des nombres décimaux qui n'ont pas de chiffres après la virgule). Tout nombre dans N ou Z est aussi dans D.
Le symbole « ⊆ » se lit : « … est inclus dans … » ou « … est un sous-ensemble de … ». Si on a A ⊆ B, cela signifie que tous les éléments de A sont dans B ou que A est égal à B. Le symbole « ⊂ » se lit : « … est strictement inclus dans … » ou « … est un sous-ensemble strict de … ».
On peut munir l'ensemble des nombres complexes d'une addition et d'une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ.
3 L'ensemble D
C'est l'ensemble des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est, non seulement, un nombre entier relatif, mais peut aussi être un nombre à virgule flottante, positif ou négatif.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
L'ensemble D
C'est l'ensemble des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est, non seulement, un nombre entier relatif, mais peut aussi être un nombre à virgule flottante, positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -4.2, -3, -2, -1.5, -1, 0, +0.7, +1, +2, +2.4, +3, +4, +5, +6, +6.75 +7, +8, etc.
L'ensemble D est une notation franco-française issue de la pédagogie des années 1970. Tous nombre pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de quotiente en italien.
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).
Oui, 0 appartient à Q. En effet, 0 peut être écrit comme la fraction 0/1, où 0 est un entier et 1 est un entier non nul.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
Quatre est le nombre entier naturel suivant trois et précédant cinq. Il s'écrit 4. C'est un nombre qui comporte un unique chiffre, à savoir 4.
Le chiffre 0 fait aussi partie des nombres entiers relatifs, mais il est dépourvu de signe. Les signes + et − indiquent la position du nombre par rapport à 0 sur un axe orienté.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
On note Q∗ l'ensemble des nombres rationnels dont on a enlevé le nombre 0 . On note Q+ l'ensemble des nombres rationnels positifs. On note Q− l'ensemble des nombres rationnels négatifs.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2. L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
L'ensemble {x | x ∈ A et x ∈ B} est appelé l'intersection des ensembles A et B et est noté A ∩ B. Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjoints. (A ne pas confondre avec distinct qui est la négation de égal) L'ensemble {x | x ∈ A ou x ∈ B} est appelé l'union des ensembles A et B et est noté A∪B.
Elle fait partie de l'ensemble des nombres imaginaires. Ainsi le nombre i est défini comme suit : i est un nombre dont le carré est -1, algébriquement : i2 = -1.
Les nombres entiers naturels sont `a la base de ces activités, en particulier, ils constituent l'un des fondements des mathématiques. Les mathématiciens admettent l'existence d'un ensemble noté N dont les éléments sont les entiers naturels. Cette liste infinie 0,1,2,3, .... signifie: m = n ou m < n.
La formule c'est pourquoi est un connecteur qui sert, dans un texte, à introduire une conséquence intimement liée à la cause qu'on vient d'énoncer, ou la conclusion qu'on tire de ce qui vient d'être dit.