La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un angle peut également être définie comme l'ensemble des points à égale distance des deux côtés de l'angle. Cette deuxième définition permet de tracer la bissectrice d'un angle avec un compas.
La bissectrice est la demi-droite qui sépare un angle en deux angles égaux. Elle fait partie des droites remarquables du triangle, au côté de la médiane, de la médiatrice et de la hauteur.
Les bissectrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Ce cercle est tangent intérieurement aux côtés du triangle. Les médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce cercle passe par les sommets du triangle.
- Pour tracer la bissectrice de l'angle , on trace un arc de cercle de centre O qui coupe les deux demi-droites [Ox) et [Oy) en A et B respectivement. - Puis on tracedeux arcs de cerlce de même rayon, l'un de centre A, l'autre de centre B.
Médiatrice : droite passant par le milieu d'un segment et perpendiculaire à ce segment. Bissectrice : demi-droite coupant un angle en deux parties égales.
La médiane
Le point de rencontre des trois médianes de n'importe quel triangle se nomme le centre de gravité.
Médianes et isobarycentre d'un triangle. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est l'isobarycentre des trois sommets, souvent appelé « centre de gravité du triangle ». Il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Connais-tu la formule : A′CA′B=bc et la formule de pythagore : a2=c2−b2=(c−b)(c+b) ? Et le calcul trigonométrique dans un triangle rectangle. Cette égalité A′CA′B=bc est le théorème de la bissectrice qui découpe le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.
Les propriétés des triangles
Dans n'importe quel triangle, le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand. Par le fait même, le côté le plus petit est opposé à l'angle le plus petit. Ainsi, la longueur du côté d'un triangle influence la mesure de l'angle qui lui est opposé.
Angle dans un plan dont la mesure en degrés est égale à 180. Les demi-droites qui forment les côtés d'un angle plat appartiennent à une même droite, tout en ayant comme seul point commun le sommet de l'angle.
En trigonométrie, la première bissectrice correspond à un angle polaire de π/4 radians, c'est-à-dire 45°, donc à une pente de 1. En statistique, la première bissectrice définit une répartition strictement égalitaire pour la courbe de Lorenz.
- Les bissectrices : Comme on l'a déjà vu dans la fiche sur les angles, une bissectrice est une droite qui coupe un angle en 2 angles égaux. Dans un triangle, c'est donc la droite qui coupe un sommet en deux angles égaux.
Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la demi-droite bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit. Cas des cercles exinscrits.
Remarque : la hauteur n'est pas forcément dans le triangle Page 4 Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle se croisent en un seul point, on dit qu'elles sont concourantes. Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre.
Une hauteur est un segment qui relie un sommet à son côté opposé et qui est perpendiculaire à ce côté opposé. On peut tracer la hauteur d'un triangle de deux façons: Méthode avec un compas et une règle. Méthode avec une équerre.
Définition : dans un triangle, la hauteur d'un côté est la droite qui est perpendiculaire au côté et qui passe par le sommet opposé. On dit aussi la hauteur issue d'un sommet.
Il faut donc additionner les longueurs des trois côtés pour obtenir le périmètre.
La mesure d'un angle droit est de 90°. La mesure d'un angle obtus se situe entre 90° et 180°. La mesure d'un angle plat est de 180°. La mesure d'un angle rentrant se situe entre 180° et 360°.
Le périmètre du triangle est la somme des trois côtés. Ce principe est valable pour tout type de triangle. Périmètre du triangle = Côté+Côté+Côté. P=C+C+C.
Méthode pour tracer un cercle inscrit
Construire la bissectrice de l'angle B. Construire la bissectrice de l'angle C. Identifier un rayon qui est perpendiculaire à l'un des côtés du triangle. Utiliser ce rayon afin de tracer le cercle à l'aide du compas.
Le théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit (h) est moyenne proportionnelle entre les 2 segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse (m et n).
Un triangle scalène a des côtés de longueurs variables. Ils sont inégaux et ses angles sont de trois mesures différentes. Cependant, la somme de ses angles est de 180°, comme tous les triangles.
Il y a trois médianes dans un triangle. Le point de rencontre de ces médianes se nomme le centre de gravité du triangle.
L'aire A d'un carré dont le côté est c est : A = c × c. La formule pour calculer le rayon r du cercle circonscrit à un carré est : r = c2√2. La formule pour calculer le rayon r du cercle inscrit dans un carré est : r = c2.
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.