La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
En pratique, déterminer une primitive d'une fonction, c'est chercher une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Pour une fonction puissance, ou plus généralement une fonction polynôme, cette détermination est facile : il suffit d'augmenter d'une unité l'exposant.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Définition de la primitive. Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x). D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité. Qu'est ce qu'une Primitive.
Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur (le ∫ ).
Pour déterminer une primitive de x↦eaxcos(bx) x ↦ e a x cos , on commence par écrire cos(bx)=Re(eibx) ( b x ) = ℜ e ( e i b x ) et donc que eaxcos(bx)=Re(e(a+ib)x) e a x cos ( b x ) = ℜ e ( e ( a + i b ) x ) .
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).
Le débat sur la découverte du calcul intégral fait rage dans l'Europe des Lumières. D'un côté, Isaac Newton (1643-1727) ; de l'autre, Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Voilà les deux plus grands intellectuels de leur temps.
Pour conceptualiser l'intégrale, il faut imaginer que tu resserres de plus en plus l'espace vide qui subsiste entre ces points (en en rajoutant plein), jusqu'à ce que tu passes d'un point à un autre sans voir la différence. L'intégrale est en fait une somme qui se calcule généralement sur un ensemble infini.
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
Les primitives sont utilisées quand on a la dérivée d'une fonction et qu'on cherche la fonction elle-même.
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln (ou ), la primitive définie sur ,de la fonction x ↦ 1 x s'annulant pour . Pour : ln x > 0 est l'aire limitée par la courbe représentative y = 1 / t , l'axe et les droites d'équations et .
Sa dérivée est égale à F′(x)=v′(x)f(v(x))−u′(x)f(u(x)), F ′ ( x ) = v ′ ( x ) f ( v ( x ) ) − u ′ ( x ) f ( u ( x ) ) , formule qui se démontre par application du théorème fondamental du calcul intégral et par composition.
La première définition rigoureuse des intégrales et primitives des fonctions continues est due à Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Il démontre le « théorème fondamental du calcul intégral » pour les fonctions continues.
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.
Une primitive de la division u' / u^n
On va donc calculer la dérivée de (u(x)^(-n+1))/(-n+1). La dérivée de ça c'est u'(x) pour commencer, c'est la partie facile, u'(x) que multiplie la dérivée de cette chose-là.
deux primitives d'une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d'une constante. Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x)+k avec k réel. * Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G'(x) = F'(x) = f (x) pour tout x de I donc G est une primitive de f sur I.
L'intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d'aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).
L'intégrale de sin(x) par rapport à x est −cos(x) .
Valeur de 0!
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
Considérons la fonction f définie sur R par f(x)=3x2. La fonction F définie sur R par F(x) = x3 est une primitive de f sur R puisque F′(x) = f(x). La fonction G définie sur R par G(x) = x3 + 2 est aussi une primitive de f sur R puisque G′(x) = f(x). √x2 + 3 = f(x).