Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
Il existe une façon de vérifier si une matrice est inversible sans avoir à trouver l'inverse de cette matrice (s'il existe) : Une matrice A∈Kn×n A ∈ K n × n , K un corps, est inversible si et seulement s'il n'existe pas de x∈Kn x ∈ K n non nul, tel que Ax=0 A x = 0 .
Dans ce cas : A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les inverses de ceux de A .
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Dans le cas de la matrice identité, l'inverse est la matrice identité. Néanmoins, si la valeur de l'élément est nulle, le déterminant est nul également. Essayer de calculer la réciproque de zéro génère l'infini, ce qui entraine que cette matrice n'a pas d'inverse.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde. Donc M n'est pas inversible.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut : échanger les deux coefficients diagonaux. changer le signe des deux autres. diviser tous les coefficients par le déterminant.
Fonction pour laquelle les variables dépendante et indépendante qui définissent la relation entre le domaine et l'image peuvent être échangées de manière à ce que la nouvelle relation obtenue soit aussi une fonction. En d'autres termes, une fonction est inversible lorsque sa réciproque est aussi une fonction.
Une application T : X → Y est dite inversible si, pour tout y ∈ Y , l'équation T(x) = y admet une unique solution x ∈ X. (y) = (l'unique x ∈ Xtel que T(x) = y). (y) = x est équivalent `a T(x) = y. = T.
En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d'un côté ou de l'autre de la diagonale principale. C'est en particulier le cas si la matrice est diagonale.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
ce qui est opposé, contraire ou inverse.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
Remarque : La courbe d'équation = de la fonction inverse, appelée hyperbole de centre O, est symétrique par rapport à l'origine.
Matrices symétriques réelles
Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ? Pour trouver/déterminer des vecteurs propres , prendre M une matrice carré d'ordre n et λi ses valeurs propres. Les vecteurs propres sont les solutions du système (M−λIn)→X=→0 ( M − λ I n ) X → = 0 → avec In la matrice identité.
La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles.
Définition d'une matrice nilpotente
Une matrice nilpotente est une matrice carrée dont une puissance est nulle, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier naturel tel que N p = 0 . Cela entraîne que quelque soit l'entier r supérieur ou égal à , on a N r = 0 .
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence).
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.