Une suite est une succession de nombres réels (appelés termes de la suite), comme par exemple 2,5,8,... Le mode de génération d'une suite est la façon dont cette suite est définie. Dans notre exemple, 2,5,8, chaque terme est obtenu en "ajoutant 3" au terme précédent.
La définition d'une suite. Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent).
Une suite numérique est une suite géométrique de raison , si le quotient entre termes consécutifs est toujours . Autrement dit, il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Il s'agit d'une formule de récurrence : la valeur d'un terme s'obtient à l'aide du terme précédent.
Pour décrire une suite en mots, on donne l'un des termes et on indique sa raison. Le premier terme de la suite est 1 et la régularité est +2.
Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
Pour justifier qu'une suite (un) est géométrique, il suffit d'utiliser la définition suivante. Une suite (un) est géométrique si l'on peut écrire un+1 sous la forme : un+1 = qun. Le nombre réel q est alors la raison de la suite géométrique (un).
Le terme général d'une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇 , est une expression algébrique qui relie le terme à son rang dans la suite. On considère le terme général 𝑇 = 3 𝑛 + 4 . Par conséquent, les trois premiers termes sont 7, 10 et 13.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
Terme général
Une suite géométrique peut aussi être définie à partir d'un rang quelconque n0, soit, pour tout n ≥ n0, par : qui suit la même relation de récurrence. Ce cas se ramène au cas précédent en posant vn = un0+n qui est géométrique de même raison que un à partir de v0 = un0.
u p + ⋯ + u q = ( q − p + 1 ) × ( u p + u q ) 2 . On retient souvent cette formule sous la forme : up+⋯+uq=(nb de termes)×(premier terme+dernier terme)2. u p + ⋯ + u q = ( nb de termes ) × ( premier terme + dernier terme ) 2 .
Définition : une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un +r. Le réel r est appelé raison de la suite (un). Forme explicite : si la suite (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0 +nr.
Calculer un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Certaines suites ont des propriétés particulières, comme les suites arithmétiques et les suites géométriques. De telles suites sont définies par récurrence, mais on peut calculer leur terme général en fonction du rang, ainsi que la somme des premiers termes.
En mathématiques, la raison est la valeur qui permet de passer d'un terme au suivant dans certaines suites définies par récurrence.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
2.2 Calcul des termes d'une suite arithmétique
On veut calculer le terme d'indice n. Le premier terme est donc un0 . Le deuxième terme est un0+1 = un0 +r. Le troisième terme est un0+2 = un0+1 +r = un0 +r +r = un0 +2r.
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Pour une suite géométrique (Un) de raison q et de premier terme positif : Si q > 1 alors la suite (Un) sera croissante. Si q = 1 alors la suite (Un) sera constante. Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) sera décroissante.
Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante. Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.