Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu'il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.
Si deux ensembles sont en bijection, c'est qu'ils ont même cardinal, c'est à dire pour le groupes, même ordre. La contraposée, si deux groupes n'ont pas même ordre, ils ne sont pas en bijection, donc pas d'isomorphisme.
Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'on peut trouver une application linéaire et bijective (un isomorphisme) de l'un vers l'autre. On peut considérer que deux espaces isomorphes sont identiques du point de vue de la structure d'espace vectoriel.
f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f−1 est un morphisme de groupes. f est un automorphisme de groupes si f est un isomorphisme et si G=G′ (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f , noté kerf , est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G′ f ( x ) = 1 G ′ .
pour tous x, y ∈ G, x⋆ y = y⋆ x, on dit que G est un groupe commutatif (ou abélien). – L'élément neutre e est unique. En effet si e vérifie aussi le point (3), alors on a e ⋆ e = e (car e est élément neutre) et e ⋆ e = e (car e aussi).
Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu'il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.
Nombres : • (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l'opposé et l'inverse d'un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ; • (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens avec élément neutre = zéro 0 ; • si on note Z∗ = Z \ {0} (et même chose pour Q, R et C), l'ensemble (Z∗, ·) n'est pas un ...
Soit f:E → F une application linéaire et soit A sa matrice dans les bases B et B . Alors l'application f est un isomorphisme si et seulement si la matrice A est inversible. De plus, si f est un isomorphisme alors A−1 est la matrice de f−1 dans les bases B et B.
L'isomorphisme peut aussi s'exprimer de la façon suivante : les graphes ont le même nombre de sommets et sont connectés de la même façon. Autrement dit, si les deux graphes venaient à être dessinés, alors il n'y aurait qu'à déplacer les sommets de l'un pour obtenir la copie conforme de l'autre (voir illustration).
En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou homomorphisme) d'un objet mathématique dans lui-même. Ainsi, par exemple, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : E → E, et un endomorphisme de groupe G est un morphisme de groupes f : G → G, etc.
On dit que u est linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, u(λx + µy) = λu(x) + µu(y). Lorsque E = F, un morphisme de E dans lui même s'appelle un endomorphisme.
Définition 2.7 Si un morphisme de groupes f : G → G est bijectif, on dit que c'est un isomor- phisme. Si de plus G = G, on dit que f est un automorphisme de G.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
Définition et terminologie
On appelle graphe la donnée d'un ensemble de points appelés sommets et d'un ensemble de lignes appelées arêtes qui relient certains sommets entre eux. Le nombre de sommets d'un graphe s'appelle l'ordre du graphe. Deux sommets reliés entre eux par une arête sont dits adjacents.
Un graphe est connexe quand tout sommet peut être relié à tout autre sommet par une arête ou une suite d'arêtes. Le graphe connexe est un graphe en un seul morceau.
En algèbre linéaire, si f est une application linéaire, alors f(0)=0 (où 0 est le vecteur nul).
− Un endomorphisme d'un espace vectoriel E est une application linéaire de E dans E. − Un isomorphisme de E sur F est une application linéaire bijective. − Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. − Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E sur K.
Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Un groupe social est un ensemble d'individus formant une unité sociale durable, caractérisé par des valeurs communes, des liens plus ou moins intenses, une situation sociale identique et/ou des activités communes, une conscience d'appartenir à ce groupe et par la reconnaissance, par d'autres groupes, de son existence.
Un groupe abélien G est dit divisible lorsque pour tout entier n > 0, G = nG. Les archétypes en sont le groupe additif ℚ des nombres rationnels et les p-groupes de Prüfer.
Im f est un sous-groupe de H. Ker f est un sous-groupe de G. f est injective si, et seulement si Ker f = {eG}. f est surjective si, et seulement si Im f = H.
(R - {0},×) muni de sa multiplication usuelle est un groupe abélien mais (R - {0},÷) n'est pas un groupe car la division n'est pas associative : (2 ÷ 3) ÷ 4 = 1/6 ≠ 2 ÷ (3 ÷ 4) = 8/3, ni commutative : 5 ÷ 4 = 1,25 ≠ 4 ÷ 5 = 0,8.
L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit fini ou infini suivant que son ordre est fini ou infini. Si un élément a d'un groupe G engendre dans G un sous-groupe (monogène) fini d'ordre d, on dit que a est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre d.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.