Les pré requis Définition d'une suite non majorée Définition d'une suite croissante Définition d'une suite qui tend vers l'infini . u est non majorée donc pour tout A réel , il existe un terme de la suite plus grand que A .
Si une suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞ Faux : (−2)n 2. Si une suite n'est pas minorée alors elle tend vers −∞ Faux : (−2)n 3. Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n.
On sait qu'une suite croissante et majorée a une limite finie. Or, là, (Vn) est manifestement croissante. Si sa limite n'est pas finie (donc infinie), elle ne peut donc pas être majorée. Par conséquent elle n'est pas majorée.
En effet, si A était majorée par M , pour tout entier n≥2 n ≥ 2 , on aurait M≥n2−n=n(n−1)≥n. M ≥ n 2 − n = n ( n − 1 ) ≥ n . Ceci est impossible car N n'est pas majoré. Si A est une partie majorée, il existe en général plusieurs majorants.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (u).
Pour une fonction f définie sur un ensemble X et à valeurs réelles ou complexes, cela revient à dire qu'il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans X, Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
Un réel M est un majorant de F signifie que pour tout y de F, yM. Un réel m est un minorant de F signifie que pour tout y de F, m y. Remarque. En général, M et m, si ils existent, ne sont pas des éléments de F.
Une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que ┐n☻N, un  M. M est alors un majorant et il existe une infinité de majorants. Une suite (un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée, donc s'il existe un encadrement sous la forme : ┐n☻N, m  un  M.
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E. Par exemple, 2 est un majorant de [−1, 1].
- Si la suite est décroissante nous avons ua ≥ ua+1 ≥ ua+2 ≥ ... ≥ un et elle est, de fait, majorée par son premier terme ua . - Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
Une suite de nombres réels (ou suite de réels ou suite réelle) est une application de N dans R. On calcule directement un en fonction de n. Parmi les suites de référence citons: Suites arithmétiques : ce sont les suites .
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Une suite (un) est dite majorée s'il existe un nombre M tel que pour tout entier naturel n, un ⩽ M. Le nombre M est un majorant de la suite (un). Une suite (un) est dite minorée s'il existe un nombre m tel que pour tout entier naturel n, un ⩾ m. Le nombre m est un minorant de la suite (un).
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
n étant fixé, il existe R=√n>0 tel que ||M||≤R donc On(R) est une partie bornée de Mn(R).
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).