En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique telle que : est un espace vectoriel sur K ; la loi × est définie de A × A dans A ; la loi × est bilinéaire.
Un corps est un ensemble K muni de deux lois + et × vérifiant : (K,+) est un groupe commutatif dont l'élément neutre est noté 0 .
On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A. ∀x, y ∈ A, ∀a ∈ K, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y). Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l' ...
Définition des sous-algèbres
On définit ici la notion de sous-algèbre, qui généralise les notions usuelles de structures induites (ou sous-structures) des structures algébriques usuelles, par exemple les sous-groupes, les sous-anneaux, les sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), etc.
Remarque 3.3 Un corps K ne possède que deux idéaux : {0} et K. yx−1x ∈ I. Donc I = K. Proposition 3.4 Tout morphisme de corps f : K → L est injectif.
Al-Khwarizmi était un mathématicien, astronome et géographe persan du IXe siècle. Il est souvent considéré comme le père de l'algèbre et le terme « algèbre » lui doit son nom.
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
Une partie L d'un corps K est un sous-corps de K si c'est un sous-anneau de K tel que, pour tout x∈L, x ∈ L , x≠0, x ≠ 0 , alors x−1∈L. L est alors un corps pour les lois induites par celles de K.
Exemple : R est une R-algèbre (pour les lois usuelles), et C aussi. (C est aussi une C-algèbre).
k : symbole de kilo-. K : symbole du kelvin. ➙ kelvin. K : symbole chimique du potassium.
La valeur de la constante d'équilibre K est le rapport entre les concentrations des produits et des réactifs. Cela signifie que nous pouvons utiliser la valeur de K pour prédire s'il y a plus de produits ou de réactifs à l'équilibre pour une réaction donnée.
L'utilisation du "K" pour représenter "mille" provient du système international d'unités (SI) où le préfixe "kilo" est utilisé pour signifier mille. Par exemple, un kilogramme équivaut à mille grammes. Ce préfixe "kilo" trouve son origine dans le mot grec "chilioi" ou "khilioi", qui signifie mille.
Un K-espace vectoriel est un ensemble E muni d'une loi d'addition qui permet d'ajouter deux éléments de E (appelés vecteurs) et d'une multiplication qui permet de multiplier un élément de E par un élément de K (appelé scalaire).
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.
k est appelé le coefficient d'agrandissement ou le rapport d'agrandissement. Pour trouver le rapport d'agrandissement qui permet de passer d'une figure 1 à une figure 2, il suffit de diviser l'une des longueurs de la figure 2 par la longueur de la figure 1 qui lui correspond.
Cas où ℤ/nℤ est un corps
Dans ℤ/nℤ avec n ≠ 1, la classe nulle est donc la seule classe non inversible si et seulement si les multiples de n sont les seuls entiers non premiers avec n, c'est-à-dire si et seulement si n est premier.
1. Cercle de matière dure, qui sert à retenir quelque chose : Les anneaux d'un rideau. 2. Petit cercle, généralement de métal, qu'on porte au doigt.
Dans tous les cas, un corps est un anneau (unitaire) non nul dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication. Dit autrement, c'est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication.
Par exemple, les anneaux Q, R, C, sont des corps. Par contre, l'anneau Z n'est pas un corps, car tout entier n = −1,1 n'a pas d'inverse multiplicatif dans Z. Proposition 5.4. Tout corps est un anneau intègre.
Sous-anneau : soit un anneau A. B ⊆ A est un sous-anneau de A si B est un sous-groupe additif de A et si pour tout x,y de B, x.y ∈ B et 1∈B. Preuve : x-x ∈I pour tout x de A car I est un sous-groupe pour + donc contient 0.
On qualifie de corps (appellation due à Weber, de l'allemand Körper = corps ) un anneau unitaire dans lequel tout élément non nul admet un symétrique pour la multiplication. Un tel symétrique est appelé inverse et on parle d'élément inversible. En particulier, un corps est un anneau intègre.
L'objectif de l'algèbre est de déterminer quelles sont les valeurs inconnues, afin de trouver une solution à un problème. L'algèbre combine des nombres et des variables en utilisant des opérations mathématiques comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division pour représenter un problème spécifique.
Selon du Sautoy, l'astronome et mathématicien de l'Antiquité Brahmagupta est le premier à avoir employé le zéro. « Le texte de Brahmagupta intitulé Brahmasphutasiddhanta et écrit en 628 après J. -C.
Voici près d'un millénaire, les mathématiciens arabes ont élaboré des méthodes de calculs systématiques, prémices du calcul algorithmique. De cette élaboration naît aussi l'algèbre. Muhammad al-Khwarizmi naquit probablement entre 780 et 800 à Chiwa (Ouzbékistan) et mourut vers 850 à Bagdad.