La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).
Le théorème suivant nous dit que pour calculer l'intégrale d'une fonction f, il suffit de trouver une primitive. af(x)dx = F(b) − F(a). Remarque. La formule énoncée dans ce théorème s'appelle la formule de Leibniz-Newton.
Divisez a (le coefficient) par n+1 (la puissance augmentée de 1) et augmentez la puissance d'une unité. En d'autres mots, l'intégrale de y = a •xn est y = (a/n+1)•x(n+1). Ajoutez la constante d'intégration C à votre intégrale indéfinie pour accorder votre résultat aux éventuelles conditions initiales du problème.
On peut calculer l'intégrale d'une fraction rationnelle irréductible \(f(x) = P(x) / Q(x)\) sur tout intervalle fermé \([ a, b]\) à condition que \(\forall x_0 \in [ a, b] \Leftrightarrow Q(x_0) \neq 0. \) Les méthodes d'intégration sont semblables à celles de la recherche des primitives.
Dès lors que l'on est capable de modéliser le contour d'une surface par la courbe d'une ou de plusieurs fonctions mathématiques, le calcul intégral permet de déterminer l'aire de la surface. Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b].
L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Le débat sur la découverte du calcul intégral fait rage dans l'Europe des Lumières. D'un côté, Isaac Newton (1643-1727) ; de l'autre, Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Voilà les deux plus grands intellectuels de leur temps.
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\, ;+\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\left ( x \right )=ax+b+\frac{c}{x-3}.
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
L'intégrale de a à b de la fonction f sur I est l'aire (en unités d'aires) du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe C et les verticales d'abscisses x = a et x = b. On note et on dira « intégrale de a à b de f » ou « somme de a à b de f ».
Une fonction constante est intégrable sur tout intervalle borné. La fonction [t ↦→ 1 tα ] est intégrable au voisinage de +∞ si, et seulement si, α > 1. La fonction [t ↦→ 1 tα ] est intégrable au voisinage droit de 0 si, et seulement si, α < 1. sont intégrables au voisinage de t0 si, et seulement si, α < 1.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
L'intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d'aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).
Pour déterminer l'intégrale indéfinie des fonctions impliquant différentes puissances de 𝑥 , y compris les fonctions polynômes, inverses et radicales, on utilise les propriétés suivantes : La propriété de linéarité de l'intégration : ( 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) ) 𝑥 = 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥 , d d d pour 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ .
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Une intégrale est dite impropre lorsque une des bornes est \(\pm \infty\), ou si la fonction intégrée n'est pas continue sur l'intervalle d'intégration.
Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
Il permet de saisir facilement des intégrales (∫), limites, sommes (∑). Vous pouvez alors écrire comme sur le papier vos formules : il suffit de mettre les expressions en surbrillance au lieu de mettre des parenthèses.
Dans le menu « Analyse », choix 3 « Intégrale ». Ne pas remplir les paramètres a et b permet d'obtenir une primitive de la fonction f. Recommencer en déclarant les bornes inférieure et supérieure, ce qui donne une valeur exacte. Appuyer sur la touche « ctrl » puis « entrée » pour obtenir une valeur approchée.