Si Δ=0 , il y a une racine réelle double : x0=−b2a. x 0 = − b 2 a . Si Δ<0 , il n'y a pas de racines réelles.
Si Δ = 0 alors l' équation admet une solution double x = −b/2a.
Si \Delta=0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_0)^2, avec x_0 la racine double de f. Si \Delta>0, on peut factoriser f(x) sous la forme f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x_1 et x_2 les deux racines de f.
On calcule le discriminant de ce polynôme : Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 × 5 × 3 = –56. Le discriminant Δ est négatif donc cette solution n'admet pas de solution.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
b. 2x² + 5x – 3 est un polynôme du second degré de la forme ax2 + bx + c, avec a = 2, b = 5 et c = –3. Son discriminant est ∆ = b² – 4ac = 5² – 4 × 2 × (–3) = 49.
Si le discriminant est positif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 a deux racines réelles distinctes. Si le discriminant est égal à , l'équation a x 2 + b x + c = 0 a une racine réelle double. Si le discriminant est négatif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 n'a pas de racine réelle.
On appelle trinôme du second degré en x à coefficients réels l'expression a x 2 + b x + c . Quand elles existent, les solutions réelles de l'équation du second degré (E) : a x 2 + b x + c = 0 sont appelées racines réelles du trinôme.
Une racine complexe d'un polynôme P est un nombre complexe z tel que P(z) = 0. Par exemple, nous savons maintenant que le nombre complexe i est une racine complexe du polynôme X2 + 1 puisque i2 = −1. Le polynôme X2 + 1 est donc factorisable dans C : X2 +1=(X − i)(X + i).
Il existe un moyen de résoudre une équation du second degré sans passer par le calcul du discriminant: la factorisation. Cette méthode consiste à trouver une relation entre le produit de a par c d'une part, et b de l'autre.
Pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de substitution, il suffit d'isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et de remplacer cette inconnue par sa valeur dans l'autre équation.
Toute racine de 1 est 1 .
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Si Δ < 0 , alors l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle. f ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Si Δ = 0 , alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0=-b2a .
Pour multiplier ou diviser des racines carrées, on utilise la propriété selon laquelle la racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées et la racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées. 👉🏼 Par exemple : √3 × √7 = √21. √12 ÷ √4 = √3.
si ∆=0. - du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé de a à l'intérieur des racines si ∆ > 0. P(x) = a(x − x1)(x − x2). Signe de (x − x1) - + + Signe de (x − x2) - - + Signe de (x − x1)(x − x2) + - + Signe de P(x) signe de a signe opposé de a signe de a 2 Page 3 2) Lorsque ∆=0, P(x) = a(x − x0)2.
(Algèbre) Notion algébrique intervenant dans la résolution d'une équation du second degré, plus connue sous le nom de delta (Δ). (Par extension) Outil permettant de déterminer si les racines d'un polynôme de degré supérieur à 2 sont multiples.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
C'est la forme développée de 2(x – 3)(x + 2)(x – 1). On dit qu'un réel r est une racine d'une fonction polynôme du troisième degré f d'expression f(x) = ax3 + bx2 + cx + d lorsque f(r) = 0, c'est-à-dire lorsque ar3 + br2 + cr + d = 0.
Application à la résolution d'équations
En effet, si un polynôme P de degré n a une racine α, il peut se factoriser sous la forme P(X) = (X – α)Q(X), où Q est de degré n – 1. La résolution de l'équation (de degré n) P(x) = 0 se ramène alors à celle de l'équation (de degré n – 1) Q(x) = 0.
Détermine la règle de la fonction racine carrée ci-dessous. La règle de la fonction racine carrée est f(x)=2√−(x+1)−3.