Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa longueur ou norme : →v⊙→v=‖→v‖2. Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif : →u⊙→v=→v⊙→u. Il y a distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition des vecteurs : →u⊙(→v+→w)=→u⊙→v+→u⊙→w.
Le produit scalaire sert à différentes choses, notamment le calcul de l'angle entre deux vecteurs. Lorsque nous disposons des composantes des vecteurs, nous utiliserons la formule u → ⋅ v → = u x v x + u y v y + u z v z pour calculer le produit scalaire.
Calcul vectoriel - Points clés
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Produit scalaire et norme
Soit ⃗ u un vecteur. Le carré scalaire de ⃗ u est égal à sa norme au carré : ⃗ 2 = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 \vec u^2 =||\vec u||^2 u 2=∣∣u ∣∣2.
Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires de même direction et de même sens est ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = ‖ ‖ ⃑ 𝑢 ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ ⋅ 0 , c o s ce qui, comme c o s 0 = 1 , donne ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = ‖ ‖ ⃑ 𝑢 ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ .
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Le produit vectoriel de deux vecteurs peut être calculé comme le déterminant d'une matrice trois fois trois où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 pointant respectivement dans les directions des 𝑥, 𝑦, et 𝑧.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′). Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
Soit le vecteur 𝐑 la résultante de deux forces vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux qui agissent en un seul point d'angle 𝛼 entre eux. Ensuite, 𝑅 est égal à la racine carrée de 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré plus deux 𝐹 indice un 𝐹 indice deux multiplié par cosinus 𝛼.
Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel; les deux opérandes d'un produit scalaire sont des vecteurs; les opérandes de la multiplication d'un vecteur par un scalaire sont un vecteur et un nombre réel; le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire est un vecteur.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs. En effet : α = π et cos π = - 1 .
Si l'on connaît l'angle B A C ^ \widehat{BAC} BAC, on peut calculer le produit scalaire A B → ⋅ A C → \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} AB⋅AC en utilisant les longueurs A B AB AB et A C AC AC ainsi que le cosinus de l'angle B A C ^ \widehat{BAC} BAC(Voir Définition du produit scalaire.)
Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v. v = ║v║u. Pour tout vecteur ayant un sens opposé à v, on a :v = -║v║u.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
P et P′ sont parallèles si et seulement si →n et →n′ sont colinéaires. P et P′ sont perpendiculaires si et seulement si →n. →n′=0.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Réponse. Nous commençons par rappeler qu'en coordonnées cartésiennes, la soustraction de vecteurs peut être effectuée en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs. Si ⃑ 𝑢 = 𝑎 ⃑ 𝑖 + 𝑏 ⃑ 𝑗 et ⃑ 𝑣 = 𝑐 ⃑ 𝑖 + 𝑑 ⃑ 𝑗 , alors ⃑ 𝑢 − ⃑ 𝑣 = ( 𝑎 − 𝑐 ) ⃑ 𝑖 + ( 𝑏 − 𝑑 ) ⃑ 𝑗 .