▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante. c) Si la suite (un) est définie explicitement : un = f (n), alors il suffit d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 0;+∞ . La suite (un) et la fonction f ont le même sens de variation.
On donne la courbe représentative d'une fonction trigonométrique. Il faut déterminer si son équation est de la forme y = asin(bx) + c ou de la forme y = acos(bx) + c et retrouver les valeurs de a, b et c.
1) Etudier le signe de (Un+1) - (Un). - Si (Un+1) - (Un) ≥ 0 alors la suite (Un) est croissante. - Si (Un+1) - (Un) ≤ 0 alors la suite (Un) est décroissante. - Si (Un+1) - (Un) = 0 alors la suite (Un) est constante.
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n'importe quel terme de la suite.
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
La remarque de Fred te permet alors de savoir si elle est croissante ou non pour n assez grand. La suite est monotone à partir d un certain rang p lorsque le quotient up+1up u p + 1 u p dépasse une certaine valeur.
m et p sont deux nombres donnés. La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s'écrit : f(x) = mx + p. m est le coefficient directeur de la fonction et on ajoute p au résultat.
Donner l'expression réduite d'une fonction affine
On rappelle qu'une fonction affine f est représentée par une droite et admet une expression de la forme f\left(x\right)=ax+b. f est une fonction affine, elle a une expression de la forme f\left(x\right) = ax+b, avec : a le coefficient directeur de la droite.
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Étudier le sens de variation d'une suite, c'est chercher si cette suite est croissante ou décroissante. Calculer un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand n → + ∞ ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.
Toute droite du plan non parallèle à l'axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y = px + d, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = px + d. p est le coefficient directeur de la droite ; d est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Exemple : Déterminer la fonction linéaire h telle que h(-1) = 4. h est une fonction linéaire donc il existe un coefficient a tel que : h(x) = ax. Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Pour déterminer les solutions d'une équation de la forme f(x) = k, on lit les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = k. Dans le cas d'une inéquation f(x) < k, on lit les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation y = k.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Pour les suites arithmétiques, la relation de récurrence est donc très simple : on ajoute toujours le même nombre entre deux termes consécutifs. Autrement dit, u n + 1 = u n + r u_{n+1} = u_n + r un+1=un+r. Où r est un réel fixé qu'on appelle la raison de la suite.
La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n. On appelle dans ce cas 乡n la propriété en question. On est ainsi amené à montrer que la propriété 乡n est vraie pour toutes les valeurs de n.
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.