Rappel : Limite d'une fonction en un point Si les valeurs de đ ( đ„ ) tendent vers une valeur đż quand les valeurs de đ„ tendent vers đ (des deux cĂŽtĂ©s) mais pas nĂ©cessairement en đ„ = đ , alors on dit que la limite de đ ( đ„ ) quand đ„ tend vers đ est Ă©gale Ă đż et on note l i m ï â ïș đ ( đ„ ) = đż .
Soit f:IâR f : I â R une fonction, a un point de I ou une extrĂ©mitĂ© de I , et ââR â â R . On dit que f admet pour limite â en a si âΔ>0, âη>0, âxâI, |xâa|<ηâč|f(x)ââ|<Δ.
Nous pouvons rappeler que pour qu'une limite existe, il faut que les images de la fonction se rapprochent d'une valeur finie lorsque les valeurs d'entrĂ©e se rapprochent du point de chaque cĂŽtĂ©. Cela revient Ă dire que les limites Ă gauche et Ă droite de la fonction en ce point doivent exister et ĂȘtre Ă©gales.
Lorsque la fonction est bien définie en un nombre réel a (on dit qu'elle est continue en a), alors la limite en a vaut exactement f ( a ) f(a) f(a). Lorsque la variable x prend des valeurs trÚs grandes (positivement ou négativement), on dit que x tend vers plus ou moins l'infini.
Si une suite admet pour limite le nombre rĂ©el I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note : ou lim u = I. La limite d'une suite est unique. Les suites , oĂč k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nĂ©cessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme gĂ©nĂ©rale (â1) prend alternativement les valeurs â1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.
On considĂšre la fonction f dĂ©finie sur R par f(x) = x sin x. donc f(xn) tend vers +â. donc f(yn) tend vers 0. Par un raisonnement semblable Ă celui de l'exercice prĂ©cĂ©dent, on en dĂ©duit que la fonction x âŠâ cos (1 x ) n'admet pas de limite en 0.
Si pour tout x, f(x) †g(x) †h(x) et si les fonctions f et h ont la mĂȘme limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce thĂ©orĂšme que l'on utilise pour Ă©tablir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est Ă©gale Ă 1.
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite Ă gauche et Ă droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xÂȘa /(x) est Ă©gale Ă cette valeur commune).
Par définition, L est la limite de la fonction f en c, si quel que soit Δ > 0, il existe Ύ > 0 tel que si |x - c| < Ύ, alors |f(x) - L| < Δ.
DĂ©finition 6 : Soit f une fonction dĂ©finie au moins sur un intervalle ouvert en 0 : On dit que f a pour limite l en 0 lorsque la fonction x âŠâ f(x) â l a pour limite 0 en 0. hâ0 (1 + 1h2 ) = +â. Δ(x)=0. f(x) = f(a).
Les indĂ©terminations de la forme 0 à ±â se ramĂšnent Ă une indĂ©termination de la forme 0/0 ou de la forme â/â en remarquant qu'une multiplication par 0 Ă©quivaut Ă une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini Ă©quivaut Ă une division par 0.
L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes et que lim xn = L et lim yn = P, alors la suite (xn + yn) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a xn) est convergente de limite aL.
Les cas indéterminés sont: zéro divisé par zéro, infini divisé par infini, zéro multiplié par infini, infini moins infini, zéro exposant zéro, infini exposant zéro et un exposant infini.
Lorsque la limite en a est un nombre l rĂ©el, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +â ou -â alors f n'admet pas de limite finie.
A partir de la courbe reprĂ©sentative d'une fonction, on dĂ©termine sa limite en un point oĂč elle n'est pas dĂ©finie. Le fait qu'une fonction ne soit pas dĂ©finie en un point ne signifie pas que la limite de la fonction en ce point n'existe pas !
Soit f une fonction dĂ©finie sur un intervalle I de R , Ă valeurs dans C , et a est un point de I . On dit que f admet un dĂ©veloppement limitĂ© Ă l'ordre n en a s'il existe des complexes a0,âŠ,an a 0 , ⊠, a n tels que f(a+h)=a0+a1h+âŻ+anhn+o(hn).
Si la limite trouvée est un réel a, on en déduit que la droite d'équation y=a est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty. Si la limite trouvée est +\infty ou -\infty, alors C_{f} n'admet pas d'asymptote horizontale en +\infty.
Pour obtenir une asymptote horizontale, on étudie une fonction en plus l'infini ou moins l'infini et quand cette fonction tend vers un chiffre. Pour l'asymptote verticale, on étudie la limite d'une fonction depuis un point précis, dans cet exemple 2+ et 2- .
C'est une forme indéterminée comme "infini/infini" ou "infini - infini" ou "0/0" ou encore "1^(infini)".
« 0/0 est une forme indĂ©terminĂ©e » signifie que lorsqu'une suite au numĂ©rateur tend vers 0 et qu'une suite au dĂ©nominateur tend vers 0, alors tout est possible : leur quotient peut tendre vers l'infini, ou vers 0, ou vers un nombre rĂ©el, ou mĂȘme vers rien du tout. Exemple 1 : un=1n et vn=12n.
DĂ©finition 2.1 Soit f : R2 â R une fonction rĂ©elle de deux variables rĂ©elles, (a, b) un point de R2 et l â R. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b) si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant (a, b) tel que l'image de D \ (a, b) par f est contenu dans I.