On dit que la suite u est
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Une partie A d'un espace métrique borné (E,d) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tel que A⊂B(x,M), A ⊂ B ( x , M ) , c'est-à-dire que, pour tout x∈A, x ∈ A , d(x,a)≤M. d ( x , a ) ≤ M .
Pour qu'une suite soit bornée, il suffit qu'elle le soit « à partir d'un certain rang ». En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K).
une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme. d'ou Un bornée.
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy et soit N ∈ N tel que |un − uN | < 1 pour tout n ≥ N. Ainsi, pour tout n ≥ N on a |un| < 1 + |uN |. On en déduit que la suite (un)n∈N est bornée par max{|u0|,|u1|,...,|uN−1|,|uN | + 1}.
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
n étant fixé, il existe R=√n>0 tel que ||M||≤R donc On(R) est une partie bornée de Mn(R).
Définition. Une partie B d'un espace vectoriel topologique E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V.
Une fonction est majorée par son maximum et est minorée par son minimum . Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un intervalle sans admettre forcément de maximum( ou de minimum ) . Ex : La fonction inverse est minorée par 0 sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ , mais 0 n'est pas un minimum …
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
la borne supérieure de la somme A + B de deux ensembles majorés non vides A et B est égale à la somme de leurs bornes supérieures respectives ; les notions d'infimum et de supremum sont duales : inf(S) = –sup(–S), où –S = { –s | s ∈ S}.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Une suite géométrique U de raison q et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 qn. On utilise les suites géométriques pour les placements à intérêts composés. Une suite arithmétique U de raison r et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 + nr.
et dans lequel toutes les suites qui devraient naturellement converger (ce seront les suites de Cauchy) seront effectivement convergentes. Toute suite convergente est de Cauchy. Toute suite de Cauchy est bornée. converge vers 0.
On dit qu'une suite (un) d'un espace métrique (X,d) est une suite de Cauchy lorsque ∀ε>0, ∃N∈N, ∀p,q≥N, d(up,uq)<ε ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ p , q ≥ N , d ( u p , u q ) < ε (si on se place dans un espace vectoriel normé (E,N) , on remplace d(up,uq) d ( u p , u q ) par N(up−uq) N ( u p − u q ) ).
On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs S n + 1 − S n = 1 n + 1 tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.
Après avoir prouvé que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut déterminer un encadrement ou une approximation de la solution de l'équation f(x)=k à l'aide de la calculatrice.
Les cas indéterminés sont: zéro divisé par zéro, infini divisé par infini, zéro multiplié par infini, infini moins infini, zéro exposant zéro, infini exposant zéro et un exposant infini.
On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant .