Démonstration que la somme et le produit de 2 nombres rationnels sont rationnels. Quel que soit le nombre rationnel a et quel que soit le nombre rationnel b, la somme a + b et le produit ab sont des nombres rationnels.
Addition et soustraction de deux fractions
Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de même dénominateur : on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ; on garde le dénominateur commun.
La somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle ou irrationnelle. Cela dépend totalement des nombres considérés. Il en va de même pour les produits de deux irrationnels.
On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n'est pas forcément irrationnel comme le montre l'exemple suivant : √2 × √2 = 2.
Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers, et donc l'ensemble des nombres naturels. Cependant, contrairement aux nombres de ces 2 ensembles, les nombres rationnels peuvent avoir une partie décimale non nulle. Le développement décimal d'un nombre rationnel peut être fini ou infini et périodique.
Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier. Vrai : 1 3 + 2 3 = 1 est un nombre entier. On pouvait également choisir deux nombres entiers (puisqu'ils sont également rationnels).
Deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels. Autrement dit, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
La somme de deux nombres décimaux est toujours décimale.
Un nombre rationnel peut s'écrire comme le résultat de la division de deux entiers. Les nombres suivants sont des nombres rationnels : 5 est un nombre rationnel car 10\div 2=5. 0,2 est un nombre rationnel car 1\div 5=0{,}2.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Voici quelques exemples de nombres irrationnels fréquemment utilisés: Le nombre (pi) est irrationnel (Π = 3⋅14159265…), car la valeur décimale ne s'arrête jamais. √2 est un nombre irrationnel.
Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire). On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux. De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2.
Puisque b2 est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux. Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
a × b = p ⋅ q 10 n × 10 m = p ⋅ q 10 n + m . Ainsi, puisque p⋅q p ⋅ q est un entier, a×b a × b s'écrit bien comme le quotient d'un nombre entier et d'une puissance de 10 10 : c'est un nombre décimal.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Par contre, le quotient de deux nombres décimaux n'est pas toujours un nombre décimal : 1 et 3 sont des nombres décimaux mais 1/3 n'en n'est pas un.
Le nombre 9 peut être exprimé sous la forme 9/1, 9 et 1 étant tous deux des entiers. 0,5 peut être écrit sous la forme 1/2, 5/10 ou 10/20, car il s'agit d'une décimale terminale. √81 est un nombre rationnel puisqu'il peut être réduit à 9.
Les nombres √5 et −3√12 sont des nombres irrationnels, car ils ne peuvent pas être exprimés sous la forme d'une fraction de nombres entiers. Le nombre −√16 n'est pas un nombre irrationnel; il fait plutôt partie de l'ensemble des nombres entiers, car il correspond au nombre −4.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
Un nombre décimal est un nombre rationnel. Il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. Il existe des nombres rationnels qui ne sont ni entiers, ni décimaux. Un nombre rationnel peut s'écrire de plusieurs de manières différentes.
Les autres nombres rationnels sont ceux dont la valeur n'est ni un entier ni un décimal. Le quotient de 9 9 9 par 7 7 7 est bien un nombre rationnel (on peut l'écrire 9 7 \frac 97 79) mais le résultat de la division de 9 9 9 par 7 7 7 n'est ni un entier, ni un décimal.
« Un nombre décimal est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule ». En tant que définition, elle comporte un « si et seulement si » implicite. Une définition caractérise l'objet qu'elle définit. Conséquence : si un nombre a une infinité de chiffres après la virgule, alors il n'est pas décimal…
Un nombre rationnel est défini comme quotient d'un entier relatif par un entier relatif non nul.
Le carré d'un nombre irrationnel n'est jamais rationnel. 4. Il n'existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
Le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique.