Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Pour interpréter ce signe : Si f ( x ) a le signe +, alors la courbe de f est au dessus de l'axe des abscisses.
Le signe d'une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) sur un intervalle 𝐼 , le signe est positif si 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , le signe est négatif si 𝑓 ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 .
Étudier le signe d'une telle expression revient à étudier séparément le signe des facteurs et puis à appliquer la règle des signes. Cela revient à résoudre les inéquations et . Pour cela, on utilise un tableau de signes. Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle I
A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I. Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d'une fonction de type ax + b.
Pour évaluer une fonction composée, on remplace 𝑔 et 𝑓 par leurs expressions, en commençant par l'intérieur et en progressant vers l'extérieur. Ici, l'expression la plus interne est 𝑔 ( 𝑥 ) , que l'on remplace donc par 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 , pour obtenir 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 ) ) = 𝑓 ( 𝑥 − 2 ) .
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R → R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
Signe d'une fonction affine
Le signe de la fonction affine f(x) = ax + b dépend du signe du coefficient directeur a.
On détermine graphiquement le signe de f'\left(x\right) (positif lorsque la courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses, négatif sinon). On identifie sur le graphique les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Pour tracer le graphique d'une fonction rationnelle, il faut s'assurer que la règle de la fonction est écrite sous la forme canonique. La règle d'une fonction rationnelle sous la forme canonique est f(x)=ab(x−h)+k. f ( x ) = a b ( x − h ) + k .
Alterner régulièrement le temps de travail et les pauses relaxation pour une meilleure concentration et des conditions optimales d'apprentissage. Espacer les temps de révision pour une mémorisation durable. Utiliser tous ses sens pour une bonne mémorisation. Travailler en groupe pour parler ensemble des apprentissages.
Règle des signes —
Le produit de deux nombres positifs est positif ; le produit de deux nombres négatifs est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires (c'est-à-dire d'un nombre positif et d'un nombre négatif) est négatif.
La fonction exponentielle, notée exp : - est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
A l'inverse, la racine carrée d'un nombre est le résultat dont le carré est égal au nombre de départ. Le symbole de la racine carrée est √. Exemple : la racine carré de 4, qui s'écrit aussi √4 est égal à 2 car 22, soit 2 x 2 = 4.
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Définition : Limites à droite ou à gauche
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) tendent vers une valeur 𝐿 quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté négatif, c'est-à-dire pour 𝑥 < 𝑎 , mais pas nécessairement en 𝑥 = 𝑎 , alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche est égale à 𝐿 et on la note l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \Delta et les éventuelles racines de f'\left(x\right) afin de déterminer son signe. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1.
Résoudre l'équation f(x) = g(x) consiste à déterminer tous les réels x de D qui ont la même image par f et par g. Propriété Graphiquement, les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g.
Une fonction est croissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées augmentent. Une fonction est décroissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées diminuent.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes. Considérons x1, x2 et x3 les trois racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3. Dans le cas où x1 = x2, l'intervalle ]x1 ; x2[ n'existe pas. Dans le cas où x2 = x3, l'intervalle ]x2 ; x3[ n'existe pas.
Utiliser le graphique: Quand la parabole est au dessus des abscisses, ax2+bx+c est positif. Quand la parabole est en dessous des abscisses, ax2+bx+c est négatif. On présente les résultats sous la forme d'un tableau de signe.
Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
On dit que a est un point critique de f si toutes les dérivées partielles de f s'annulent en a (ou de façon équivalente, si la différentielle de f s'annule en a ). Ainsi, si f est définie sur un intervalle I de R , a est un point critique de f lorsque f′(a)=0. f ′ ( a ) = 0.