f est définie si et seulement si l'expression située sous le radical est positive ou nulle. C'est à dire, ici, si et seulement si x − 1 ⩾ 0 x - 1\geqslant 0 x−1⩾0 donc x ⩾ 1 x\geqslant 1 x⩾1. L'intervalle est fermé en 1 car x peut prendre la valeur 1.
Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec une relation binaire G ⊂ E × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartienne à G. Exactement dans ce cas, une application fG donnée comme relation binaire G ⊂ E × F est dite bien définie.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Si une fonction f f f est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] alors, pour tout réel k k k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), l'équation f ( x ) = k f(x)=k f(x)=k a une unique solution dans l'intervalle [ a ; b ] . [a; b ]. [a;b].
Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.
En mathématiques, l'ensemble de définition (également appelé domaine de définition ou parfois ensemble de départ, voir la discussion plus bas) d'une application ou d'une fonction désigne informellement l'ensemble des entrées acceptées par elle.
L'ensemble de définition d'une fonction f est souvent noté D f .
- Si la fonction f est définie par la formule f(x) = 2x +3 alors: l'image du nombre 0 est obtenue en calculant f(0) = 2x0 + 3 soit f(0) = 3 donc l'image du nombre 0 par cette fonction f est 3.
Pour déterminer le domaine d'une fonction définie par morceaux, il faut étudier la règle de la fonction pour chacun de ses sous-intervalles. Dans un premier temps, évaluons les images f(0), f(1) et f(5) : Si x<1, la valeur de f(x) est x2. Comme 0<1, on obtient que f(0)=02=0.
Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents. Exemples : - On définit la suite (un) par : u0 = 5 et chaque terme de la suite est le triple de son précédent.
On présente ici la plus classique en Terminale ES. Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Une fonction f dans R , possède un ensemble de définition (ou domaine de définition ), noté Df ou Df , qui est l'ensemble des nombres réels qui admettent une image par la fonction f . Exemple : L' ensemble de définition de la fonction x3 est R=]−∞;+∞[ R = ] − ∞ ; + ∞ [ car tout nombre réel a une valeur au cube.
Une fonction est dite mesurable si l'image réciproque de toute partie mesurable est mesurable. Une fonction réelle d'une variable réelle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Dire que f est discontinue en x0 signifie que f n'est pas continue en x0. La fonction f représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure.
Une fonction à deux variables est une application f : D → R, où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de définition de la fonction f. Exemples : La fonction f : (x, y) ↦→ x3 +2x2y +xy3 −4y2 est une fonction à deux variables définie sur R2 tout entier.
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
Par conséquent, l'ensemble de définition de 𝑓 est l'ensemble des nombres réels, ℝ . Pour trouver l'ensemble de définition de la dérivée, nous devons considérer les points 𝑥 auxquels 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 3 √ 𝑥 n'est pas définie. Le seul point où elle n'est pas définie est lorsque le dénominateur est égal à zéro.
Alors, pour justifier qu'une fonction f est définie sur R, il faut s'assurer que son domaine de définition est bien R. Autrement dit, pour chaque valeur de x appartenant à R, la fonction f doit donner un résultat unique et bien défini.
Soit a et b deux réels. — Si a est positif, la fonction affine f définie sur R par f(x) = ax+b est croissante. — Si a est négatif, la fonction affine f définie sur R par f(x) = ax+b est décroissante. Soit f la fonction affine définie sur R par f(x) = ax+b avec a = 0.
Si f est une fonction d'une variable réelle, le domaine de définition de f est l'ensemble des x pour lesquels f(x) est bien défini.
Une fonction 𝑓 ∶ 𝑋 ⟶ 𝑌 est une fonction rationnelle si elle peut être écrite sous la forme 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑝 ( 𝑥 ) 𝑞 ( 𝑥 ) , où 𝑝 et 𝑞 sont des fonctions polynomiales et telle que 𝑞 ( 𝑥 ) ≠ 0 pour tout 𝑥 ∈ 𝑋 .
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.