Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0).
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Une fonction n'est pas dérivable lorsque cette limite n'existe pas. Cela peut se produire dans différents cas, dont les suivants : Si une fonction est dérivable, alors elle est continue.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
prend des valeurs de plus en plus grandes. Donc n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Soit x = f − 1 ( y ) ; on a x 0 = f − 1 ( y 0 ) et par conséquent. Or est continue, donc quand tend vers y 0 , x = f − 1 ( y ) tend vers x 0 = f − 1 ( y 0 ) et le rapport x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) a une limite puisque est dérivable en et que sa dérivée f ′ ( x 0 ) est non nulle. Cette limite est bien égale à
dérivable
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
En x1 et x2 la dérivée s'annule : lorsque la dérivée d'une fonction s'annule , pour la valeur de « x1 » la fonction passe par un maximum , pour la valeur « x2 » la fonction passe un « minimum. Un maximum fait suite à une « croissance » (dérivée positive) et précède une décroissance ( dérivée négative) de la fonction.
Pour une fonction dérivable f d'une variable, on se rappelle que l'équation de la tangente au graphe au point (a,f (a)) est y = f (a)+(x − a)f (a). Si f est `a deux variables, c'est presque pareil, l'équation du plan tangent au point (a,b,f (a,b)) est z = f (a,b)+(x − a)fx (a,b)+(y − b)fy (a,b).
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. L'ensemble des points sur lesquels une fonction est dérivable est son ensemble de dérivabilité.
Solution. On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
Par exemple, f : x ∈ R∗ ↦→ x2 sin(1/x) se prolonge continûment en 0 en posant f(0) = 0, se prolongement est dérivable mais pas de classe C1. En effet, f : x ∈ R \ {0} ↦→ 2x sin(1/x) − cos(1/x) or f (0) = 0 et cos(1/x) n'a pas de limite en 0.
Définition. Si le quotient T a ( h ) = f ( a + h ) − f ( a ) h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable en a.
Ainsi une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Du coup, si tu as déjà montré ou si tu sais qu'une fonction est dérivable sur un certain intervalle, tu peux dire « elle est dérivable sur cet intervalle donc elle est continue sur cet intervalle » (et pas l'inverse^^).
Critères d'intégrabilité
Si la valeur absolue d'une fonction est intégrable sur un intervalle quelconque alors la fonction elle-même aussi. La réciproque est vraie pour un intervalle fermé mais est fausse pour un intervalle non fermé.
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
- Si la fonction f est définie par la formule f(x) = 2x +3 alors: l'image du nombre 0 est obtenue en calculant f(0) = 2x0 + 3 soit f(0) = 3 donc l'image du nombre 0 par cette fonction f est 3.
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.