On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d'équation y = 2 y=2 y=2 parallèle à l'axe des abscisses. On repère ensuite le point d'intersection entre les deux représentations. On lit l'abscisse de ce point d'intersection, qui est la solution de l'équation : S = { 0 , 5 } S=\{0,5\} S={0,5}.
Fonction inverse - Points clés
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
Le quotient de deux nombres réels de même signe est positif. Le quotient de deux nombres réels de signes contraires est négatif. Les inéquations quotient A(x) B(x) 0, A(x) B(x) < 0, A(x) B(x) 0 et A(x) B(x) > 0 se résolvent après l'étude du signe du quotient A(x) B(x) .
La fonction inverse est la fonction définie sur R∗=]−∞;0[∪]0;+∞[ qui, à tout réel x différent de 0, associe son inverse x1.
Il faut inverser le signe d'inégalité si on multiplie ou on divise par un nombre négatif. Soit 2(x+3x+5)≥178. 2 ( x + 3 x + 5 ) ≥ 178.
Par exemple : l'opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0. l'opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.
Exemples. L'élément opposé de 8 est –8, car : 8 + (–8) = 0. L'élément opposé de –6,5 est 6,5, car : 6,5 + (–6,5) = 0.
des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
La fonction inverse est impaire. La représentation graphique de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur ℝ*, ni même sur ]–∞, 0[ ou sur ]0, +∞[. Elle a pour limite 0 en +∞ et en –∞.
Si f est une fonction de R dans R ne s'annulant pas dans R, alors la fonction inverse de f est la nouvelle fonction notée g définie par g(x)=1f(x). Les fonctions f et g sont inverses l'une de l'autre si, pour tout élément de leur domaine, on a f(x) × g(x) = 1.
Si f(a)=b, alors f ⁻¹(b)=a, autrement dit si a est l'antécédent de b par la fonction f, alors a est l'image de b par la fonction réciproque de f.
Sens de variation
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
Utiliser la formule donnant la dérivée d'une fonction réciproque, en remarquant que f(1)=e f ( 1 ) = e . La fonction f f est continue sur [0;+∞[ [ 0 ; + ∞ [ . Elle est aussi dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est f′(x)=(x+1)ex f ′ ( x ) = ( x + 1 ) e x .
La dérivée de 1/u pour tout u(x) non nul est donnée par: -u'/u^2.
Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + b où a et b sont deux réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f′ définie sur par : f′(x) = a. f est de la forme u + v avec u(x) = ax et v(x) = b. Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 1 + 0 = a.
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
L'image de 3 par la fonction inverse est 13. L'antécédent de -2 par la fonction inverse est -0,5. Remarque : Tout nombre réel différent de 0 admet un unique antécédent par la fonction inverse.
Les fonctions paires
On dit qu'une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction représentée ici est un exemple de fonction paire.
Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.
On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5. Un nombre et son inverse ont le même signe.
Remarques : • 0 n'a pas d'inverse • deux nombres inverses sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs.
La somme de deux nombres décimaux est toujours décimale.
L'opposé d'un nombre
Si x positif, son opposé est négatif et si x négatif, son opposé est positif. Cela nous permet de comprendre que la soustraction est l'opération contraire de l'addition.
L'inverse de +1 est −1.