Le rapport d'homothétie est le rapport entre une mesure algébrique de la figure image et la mesure algébrique correspondante sur la figure initiale. Voici un exemple où k>1: Dans cette illustration, k=m(O, P′)m(O, P) = −m(O, P′′)m(O, P).
Les aires sont multipliées par 0,52. Les volumes sont multipliés par 0,53. Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k, -les longueurs sont multipliées par k, -les aires sont multipliées par k2, -les volumes sont multipliés par k3. Remarque : Dans la pratique, on applique directement la propriété.
Deux cas particuliers doivent être mentionnés : Si k = 1, chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identité : chaque point est envoyé sur lui-même ; Si k = –1, l'homothétie de rapport –1 est la symétrie centrale de centre O.
On trouve le centre d'homothétie en reliant A à A', B à B' et C à C', en prolongeant ces traits autant que nécessaire afin qu'ils se coupent en un point O. C'est le centre d'homothétie.
Par une homothétie de rapport k\gt0, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k^2. Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3. Si le rapport de l'homothétie est k\lt0, alors les longueurs sont multipliées par \left(-k\right) et les aires par k2.
En utilisant le théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². En utilisant le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle.
homothétie
Transformation ponctuelle h d'un espace ponctuel affine E, attaché à un espace vectoriel réel ou complexe, définie à l'aide d'un point A de E, appelé centre d'homothétie, par : h (M) = M′ si et seulement si , où k est un scalaire constant, appelé « rapport d'homothétie ». (Notation .)
Démonstration du théorème : l'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. La preuve : Soit M un point de la droite (AB) distinct de A et de B. On appelle M' son image par l'homothétie h.
L'homothétie est la transformation de l'espace (ici le plan) qui dilate les distances par rapport à une origine O. Le rapport k de l'homothétie est le facteur par lequel les distances sont multipliées. Ce rapport peut être négatif.
Définition : Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant les longueurs de la figure initiale par un nombre k strictement positif. Exemple: Soit un carré de côté 3 cm. a) Agrandir ce carré dans le rapport 1,2. → Le carré agrandi aura pour côté 3 cm × 1,2 = 3,6 cm.
Une application h:E → F est appelé un "homomorphisme d'espaces vectoriels" ou encore une 'application linéaire', si elle vérifie les conditions: f(u+v)=f(u)+f(v) ∀ (u,v) ∈ E×E. f(λu)=λf(u) ∀ (λ, u) ∈ K×E.
L'ensemble K, formation à géométrie variable, à la croisée des arts, s'attache à bousculer la forme traditionnelle du concert en confrontant la musique de chambre à d'autres formes d'expression artistique (littérature, arts de la scène, arts plastiques, danse, etc.)
Les fonctions sont souvent exprimées par une équation qui relie la variable x à son image. Ainsi, lorsque l'on veut déterminer l'image de xx par la fonction ff, il suffit de remplacer x dans l'équation par sa valeur ou son expression afin d'obtenir son image f(x) ou y.
Lors d'une homothétie de rapport k, si k est positif alors les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k3. On parle alors d'un agrandissement ou d'une réduction. Une homothétie conserve les mesures d'angles.
On construit respectivement les symétriques A', B' et C' de A, B et C par l'homothétie de centre O et de rapport -2. Pour construire A' par exemple : - On trace la droite (OA). - L'image A' de A se trouve de l'autre côté de A par rapport au point O. - OA' = 2 x OA.
Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d'un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.
Attention, la formule qui permet de calculer une longueur dans un repère n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et graduation identique sur les deux axes). A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 . C'est le théorème de Pythagore qui donne ce résultat.
Pour calculer la longueur d'un côté, on utilise le calcul en croix. AC = AB× tan ABC = 5 × tan 45° = 5 Enfin, on peut utiliser la tangente pour calculer des angles au sein d'un triangle rectangle.
On peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs. Ce théorème permet de calculer une longueur dans l'une de ces configurations, si l'on connaît les autres.
La formule de l'aire d'un triangle est : Aire d'un triangle = (Base × hauteur) : 2 soit : A = (B × h) : 2. Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on peut utiliser la formule de l'aire d'un rectangle, mais il faudra diviser le résultat obtenu par 2.