On détermine le PGCD des polynômes A et B par le théorème moteur de l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes des polynômes. On fait la division de A par B : On a obtenu A ( X ) = X 2 − X − 2 ) B ( X ) + X 2 + 4 X − 5 .
Recherche du PGCD de deux nombres entiers :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 sont des diviseurs communs de 60 et 84. 12 est le plus grand nombre de cette liste. Donc le PGCD (60 ; 84) = 12.
- Le PGCD de a et de b est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affectés de leur plus petit exposant. - Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur plus grand exposant.
Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes
Soient les polynômes , et . Si P = Q × R , alors et sont des diviseurs de . Par exemple, 2 x ( x + 3 ) = 2 x 2 + 6 x . Donc et sont des diviseurs de 2 x 2 + 6 x .
De la même façon, on dit que polynômes P 1 , P 2 , . . . , P n sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur PGCD est égal à 1.
Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.
Pour P(x) = ax + b,a 0, P est un polynôme du premier degré et pour P(x) = ax2 + bx + c,a 0, P est un polynôme du seconde degré. Pour k allant de 0 à n, les réels ak sont appelés coefficients de degré k du polynôme P. ! Par convention, le degré du polynôme nul, P(x) = 0 est égal à −∞.
À l'aide des nombres complexes
De plus, Pn(¯j)=¯Pn(j)=0. et donc que Pn(x) est divisible par (x−j)(x−¯j)=Q(x) pour tout réel x.
➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.
Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes tel que : A = BQ + R avec deg(R) < deg(B). Les polynômes Q et R s'appellent respectivement quotient et reste dans la division euclidienne de A par B.
On effectue la division euclidienne de 120 par 72 : 120 = 72 × 1 48 Le PGCD de 120 et 72 est donc égal au PGCD de 72 et 48. On effectue la division euclidienne de 72 par 48 : 72 = 48 × 1 24 Le PGCD de 72 et 48 est donc égal au PGCD de 48 et 24.
PPCM(9, 21) = 63.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.
Dans l'algorithme d'Euclide par soustraction, pour le calcul de pgcd(a, b), a ≤ b, a est soustrait successivement de b jusqu'à obtenir r < b. C'est le reste de la division euclidienne de a par b. Ce reste peut se calculer plus efficacement que par soustractions successives, en particulier si a est très supérieur à b.
Une racine complexe d'un polynôme P est un nombre complexe z tel que P(z) = 0. Par exemple, nous savons maintenant que le nombre complexe i est une racine complexe du polynôme X2 + 1 puisque i2 = −1. Le polynôme X2 + 1 est donc factorisable dans C : X2 +1=(X − i)(X + i).
Les racines d'une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) sont x1, x2 et x3. La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2. En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
3.1 Factorisation d'un polynôme
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x −1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. a b c = = = 1 −1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x −1)(x2 −x +2).
Pour vérifier que a est racine de P , il suffit de calculer P ( a ) et de vérifier que le résultat vaut 0. Pour vérifier que a est racine double de P , on peut vérifier que le polynôme est divisible par (X − a )2 ou bien vérifier les égalités P ( a ) = 0 et P ′( a ) = 0, où P ′ est le polynôme dérivé de P .
Proposition : Si a1,…,ap a 1 , … , a p sont des racines distinctes de P , alors (X−a1)⋯(X−ap) ( X − a 1 ) ⋯ ( X − a p ) divise P . Un polynôme de degré n≥0 n ≥ 0 admet au plus n racines.
Un nombre entier est divisible par 3 : → Quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3 et uniquement dans ce cas. 7 152 est divisible par 3 car 7+1+5+2=15 et 15 est un multiple de 3 /est divisible par 3. 7 153 n'est pas divisible par 4 car 53 n'est pas un multiple de 4 (table de 4).
Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞). Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus.
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.