Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
Soient a et x deux éléments de I. "f est dérivable en a" signifie que le taux de variation de f en a admet une limite L en a. Ainsi, on peut écrire : La limite L est notée f'(a) et s'appelle le nombre dérivé de f en a.
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
La fonction f:I→R f : I → R est dérivable en a∈I a ∈ I si le taux d'accroissement f(x)−f(a)x−a f ( x ) − f ( a ) x − a admet une limite quand x tend vers a .
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
Donc une stratégie pour prouver que une fonction f N'EST PAS CONTINUE au point (x0,y0) est trouver deux courbes continues y = h1(x), y = h2(x) telles que y0 = h1(x0) et y0 = h2(x0) qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite. f(0,y) = −1.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Une fonction est continue si on peut dessiner sa courbe sur tout intervalle I de l'ensemble de définition sans lever le crayon. Exemple. La fonction inverse est continue même si sa courbe a deux branches.
Une fonction 𝑓 est dite inversible si elle est bijective (c'est-à-dire, elle est à la fois injective et surjective), c'est-à-dire, si chaque antécédent a une image unique et que tout élément de l'ensemble d'arrivée est associé à un élément du domaine de définition.
Fonction inverse - Points clés
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
Stratégie de la démonstration
La fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I lorsque pour tous nombres a et b de I : si a<b, alors f(a)>f(b). Il faut donc comparer f(a) et f(b), pour cela on va étudier le signe de f(b)-(a).
* Si a = b = 0, l'expression devient : f (x) = 0 . On obtient alors la fonction nulle.
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous sur l'intervalle [−2 ; 2].
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Une suite bornée est une fonction bornée définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté ℓ∞. Toute fonction continue de [0, 1] dans ℝ est bornée.
Une fonction est donc prolongeable par continuité en un point extérieur à son domaine de définition si elle admet une limite finie en ce point. Pour une fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété assure notamment son intégrabilité en ce point.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Une fonction est affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Si b = 0, alors f est une fonction linéaire. Si a = 0, alors f est une fonction constante.
Une fonction f définie sur est une fonction affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a et b réels.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .