Une hauteur dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans ce cas, on dit que (AH) est la hauteur issue de A ou que (AH) est la hauteur relative au côté [BC]. [BC] est aussi appelé la base relative à cette hauteur.
La hauteur relative fixe un plafond à ne pas dépasser défini en fonction de la largeur de la voie et du recul de la construction. Elle affirme la prise en compte de l'ambiance urbaine, de l'harmonie architecturale du secteur (espace public, voirie,…)
Déposer un côté de l'angle droit de l'équerre sur la base du triangle. Aligner l'autre côté de l'angle droit de l'équerre avec le sommet du triangle. Tracer le segment qui part du sommet et qui rejoint perpendiculairement la base du triangle. Ce segment est la hauteur du triangle.
En géométrie dans l'espace, la hauteur est un segment de droite perpendiculaire qui passe par : l'apex d'un solide tels qu'un cône ou une pyramide jusqu'à sa base ; les deux bases d'un solide tels qu'un cylindre ou un prisme.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre du triangle. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Une hauteur dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans ce cas, on dit que (AH) est la hauteur issue de A ou que (AH) est la hauteur relative au côté [BC]. [BC] est aussi appelé la base relative à cette hauteur.
Si ABC est un triangle, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté BC. Le point de la hauteur située sur droite (BC) est le pied de la hauteur. On définit de même les hauteurs issues de B, et de C.
Définition : hauteur relative à un côté d'un parallélogramme
Une hauteur relative à un côté d'un parallélogramme est un segment perpendiculaire à ce côté et à son côté opposé.
La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC] donc à [B'C']. Comme elle passe de plus par son milieu, c'est la médiatrice du segment [B'C']. On démontre ainsi que les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices du triangle A'B'C'. Par conséquent, elles sont concourantes.
Triangle rectangle
La hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Ce côté est alors appelé la base du triangle. La hauteur permet de calculer l'aire du triangle.
A H 2 = ( a + c − b ) ( a + c + b ) ( b − a + c ) ( b + a − c ) 4 a 2 AH^2 = \dfrac{(a + c - b)(a + c + b)(b - a + c)(b + a - c) }{4a^2} AH2=4a2(a+c−b)(a+c+b)(b−a+c)
B – Dans le cas général
Appliquer le théorème de Pythagore dans les trois triangles de la figure. Prouver alors l'égalité :AB2 = 2 x MH2 + a2 + b2. En déduire une expression réduite de MH en fonction des nombres a et b.
La formule pour calculer l'aire d'un rectangle est L × l, « longueur fois largeur ». Ex. : un rectangle de longueur 8 m et de largeur 5 m a pour aire 8 × 5 = 40 m2. La formule pour calculer l'aire d'un triangle est \frac{base\,\times\,hauteur}{2}.
Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des 3 médiatrices du triangle. En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle. On trace les médiatrices du triangle (il suffit d'en tracer deux).
L'orthocentre est le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle. Le centre de gravité est le point d'intersection des trois médianes d'un triangle. Le centre du cercle circonscrit au triangle est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle.
Trace une droite perpendiculaire au deuxième côté [BC] et qui passe par le sommet opposé A. Trace une droite perpendiculaire au troisième côté [CA] et qui passe par le sommet opposé B. Les droites (h1), (h2) et (h3) sont les 3 hauteurs du triangle.
Lorsque trois droites, ou plus, se coupent en un même point, on dit qu'elles sont concourantes.
Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian IJK (I milieu de [BC], etc.), appelé point de Spieker, est le centre de gravité (ou d'inertie) de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle.
Propriétés du parallélogramme
Les diagonales se coupent en leur milieu. Le centre du parallélogramme est le centre de symétrie. Les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposés sont de même longueur.
Hauteur du parallélogramme
Couramment, la hauteur se restreint au segment joignant le sommet au côté opposé. Une hauteur peut être située à l'extérieur du parallélogramme. L'aire d'un parallélogramme est égale à longueur d'une hauteur multipliée par la longueur du côté opposé.
Pour calculer la hauteur d'un trapèze, on divise le double de la surface par la somme des bases. Pour calculer la somme des bases d'un trapèze, on divise le double de la surface par la hauteur.
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce triangle est son hypoténuse.
Le point d'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle. a) Médiane : Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
La hauteur d'une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base Une arête latérale est un segment joignant un sommet de la base au sommet de la pyramide.
Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base du triangle est un axe de symétrie du triangle. Considérées comme des segments, les deux autres médianes sont de longueur égale. Réciproquement si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.