On appelle espace vectoriel réel (ou R-espace vectoriel) tout triplet (E,+,·) constitué d'un ensemble E et de deux lois « + » et « · » vérifiant les propriétés i) à viii) pour tous vecteurs u ,v, w dans E et pour tous nombres réels λ et µ.
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l'on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u + v (ou u − v) et aussi afin que l'on puisse multiplier chaque vecteur u d'un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u. Voici la définition formelle : Définition 1.
Le REV France est une association à but non lucratif (loi 1901) dont le siège se trouve à Saint-Jean-le-Blanc, dans le Loiret (45).
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si c'est un espace vectoriel et que F ⊂ E. Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
Cet ensemble est muni de façon canonique d'une structure d'espace tridimensionnel, vectoriel ou affine. On désigne encore cet espace par ℝ3. Dans tout autre espace tridimensionnel (affine et muni d'un repère affine ou vectoriel et muni d'une base), ℝ3 est l'ensemble des coordonnées possibles.
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
En particulier, (R,+,·), (R2,+,·) et (R3,+,·) sont des espaces vectoriels sur R. réel. de Mn,1(R).
Cet ensemble est muni de façon canonique d'une structure de plan (c'est-à-dire d'espace bidimensionnel) vectoriel ou affine. On désigne encore ce plan par ℝ2. Dans tout autre plan (plan affine muni d'un repère affine ou plan vectoriel muni d'une base), ℝ2 est l'ensemble des coordonnées possibles.
Le R2 dans le domaine financier
En général, on utilise R carré en finance pour suivre le pourcentage de variation d'un fonds ou d'un actif qui s'explique par les mouvements d'un autre indice, en particulier des indices de référence comme le S&P500.
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
Définition. Vect(A) est appelé le sous-espace engendré par A. Soit F un sous-espace vectoriel. Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F.
Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire. On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.
Le corps R des nombres réels est un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même, mais de dimension infinie sur le corps Q des rationnels.
En théorie des probabilités (mais également en théorie de la décision), l'espace des évènements élémentaires est appelé l'univers.
Une valeur R au carré plus élevée indique une valeur bêta plus utile. Par exemple, si une action ou un fonds a une valeur R au carré proche de 100 %, mais a un bêta inférieur à 1, il est probable qu'il offre des rendements corrigés du risque plus élevés.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
La fonction union(x,y) donne un vecteur composé des éléments qui se trouvent dans x ou dans y (union de x et de y). La fonction intersect(x,y) donne un vecteur composé des éléments qui se trouvent à la fois dans x et dans y (intersection de x et de y).
Réponses. Alors un Z-espace vectoriel, ça n'existe pas, car Z n'est pas un corps. On parle plutôt de Z-module, qui est défini tout pareil qu'un k-espace vectoriel (avec les mêmes axiomes) sauf qu'on remplace k par Z.
Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. On a toujours l'inclusion {0E} ⊂ F. En particulier, pour montrer que F = {0E} il suffit de montrer que F ⊂ {0E}. On a toujours l'inclusion F ⊂ E.
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Définition 1 : Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l'espace, noté u ∧ v, est l'unique vecteur défini par : (i) u ∧ v = 0 si u et v sont colinéaire ; (ii) u∧ v = ( u v | sin( u, v)|)w sinon, où w désigne le vecteur unitaire orthogonal à u et v tel que le trièdre ( u, v, w) soit direct.
Un module est un espace vectoriel auquel on a remplacé le corps par un anneau. Toutes les propriétés de l'espace vectoriel sont respectés. La seule différence est que le corps K de l'espace vectoriel est un anneau A dans le cas d'un module.
La structure d'espace vectoriel a émergé au cours du XIXè siècle. C'est d'abord Grassmann qui, vers 1840, introduit la définition d'indépendance linéaire et de dimension. Puis c'est Peano, en 1888, qui formalise complètement la notion.