En mathématiques, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions où est un polynôme irréductible et un polynôme de degré strictement inférieur à celui de.
Si F = P/(HnB) avec H irréductible et ne divisant pas B et si l'élément simple J/Hn a déjà été calculé, en le retranchant de F, on se ramène à une fraction plus simple à décomposer, car de dénominateur Hn – 1B (après simplification par H). Exemple : et l'élément simple associé est 7/(x – 2).
Pour décomposer un polynôme P∈R[X] P ∈ R [ X ] en produits d'irréductibles de R[X] , peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de C[X] , puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
Diviser deux fractions, c'est multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième. Il suffit donc de trouver l'inverse (permuter le numérateur et le dénominateur) de la seconde fraction puis de procéder comme pour une multiplication.
Si une fraction rationnelle irréductible F(x) admet (entre autres) un pôle réel a d'ordre 1, alors elle peut s'écrire : F(x) = P(x) (x − a)Q1(x) avec Q1(a) = 0 De plus, sa décomposition en éléments simples est de la forme : F(x) = E(x) + A x − a + F2(x) + F3(x) + ...
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. F = E + G et deg(G) < 0. Le polynôme E est appelé la partie entière de F.
Par exemple , décomposer f(x) = (3x - 5)2
Alors on dit que f(x) = v(u(x)) = v o u(x). Mais attention, il faut également s'occuper de l'ensemble de définition de f(x): Puisqu'on applique u à x, il faut que x € D(u). Et puisque l'on applique v à u(x), il faut que u(x) € D(v).
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est chercher un produit de facteurs premiers qui soit égal à ce nombre. Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on commence à le diviser par le plus petit de ses facteurs premiers, on fait la même chose pour le quotient obtenu, puis sur le deuxième quotient, etc.
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits. En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Simplifier . 15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5.
Décomposer un nombre, c'est indiquer la position (la classe et le rang) de chacun des chiffres qui composent ce nombre. 42 603 = 4 × 10 000 + 2 × 1 000 + 6 × 100 + 3 × 1.
Propriété : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers. Il existe une méthode pour décomposer : exemple : décomposons 84 : Je divise par les nombres premiers : 2-3-5-7-11-13…..
examiner s'il s'agit de sommes ou de produits et compter les termes respectivement les facteurs). Les trois méthodes de factorisation qu'il faut connaître sont : la mise en évidence, les produits (identités) remarquables et le groupement de termes.
Il y a plusieurs types de décomposition : la décomposition « additive » ( = utilisation de l'addition) 33545 = 30 000 + 3 000 + 500 + 40 + 5. la décomposition additive et multiplicative ( = utilisation de l'addition et de la multiplication) 32745 = (3 x 10 000) + ( 3 x 1 000) + (5 x 100) + (4 x 10) + 5.
Décomposer un nombre entier, c'est le découper en « morceaux ». On indique, en fonction de sa grandeur, combien il comporte de centaines de mille, de dizaines de mille, d'unités de mille, de centaines, de dizaines et d'unités. Si on rassemble ces morceaux en les additionnant, on retrouve le nombre de départ.
72 a des facteurs de 2 et 36 . 36 a des facteurs de 2 et 18 . 18 a des facteurs de 2 et 9 . 9 a des facteurs de 3 et 3 .
1 - On factorise le numérateur et le dénominateur. 2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe. 3- On simplifie par les facteurs communs. 4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.
Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes. Voici trois exemples de fractions rationnelles : x + 5 x 2 − 4 x + 4
Multiple commun pour simplifier une fraction
Pour simplifier, il faut trouver le multiple commun au numérateur et au dénominateur, et diviser les deux termes de la fraction, par ce multiple.
125 a des facteurs de 5 et 25 .
Algèbre Exemples. 147 a des facteurs de 3 et 49 .
la somme des sept premiers nombres triangulaires (1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28), ce qui en fait un nombre tétraédrique ; la somme d'un couple de nombres premiers jumeaux (41 + 43) ; 84 : c'est 4 fois 20 (quatre-vingts) plus 4 (quatre).
La décomposition des nombres permet d'étudier leur composition à l'aide des valeurs de position des chiffres qu'ils contiennent. Mieux comprendre la composition des nombres permet, entre autres, de les placer en ordre.
Décomposer un nombre entier, c'est l'écrire en montrant les différentes unités qu'il contient. On peut décomposer 3 524 de plusieurs manières : 3 524 = (3 x 1 000) + (5 x 100) + (2 x 10) + (4 x 1) 3 milliers, 5 centaines, 2 dizaines, 4 unités.
La décomposition en produits de facteurs premiers de 252 est 252 = 22 × 32 × 7. La décomposition en produits de facteurs premiers de 132 est 22 × 3 × 11. On a bien 22 × 3 × 11 = 12 × 11 = 132 et il s'agit de sa décomposition en produits de facteurs premiers.