Lorsque le sens de variations d'une fonction est donné par une phrase ou un tableau de variation, comparer les images de 2 nombres d'un intervalle. l'ordre des images, une fonction décroissante renverse l'ordre. Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f(a) = f(b).
Etudier le sens de variation d'une fonction f définie sur , c'est préciser les intervalles sur lesquels elle est croissante, les intervalles sur lesquels elle est décroissante et les intervalles sur lesquels elle est constante.
En mathématiques, les variations d'une fonction réelle d'une variable réelle sont le caractère croissant ou décroissant des restrictions de cette fonction aux intervalles sur lesquels elle est monotone. Ces informations sont couramment rassemblées dans un tableau de variations.
- La deuxième ligne du tableau indique, pour chaque intervalle de l'ensemble de définition, les variations de la fonction. Une flèche descendante signifie que la fonction est décroissante tandis qu'une flèche montante indique qu'elle est croissante.
1) Sens de variation :
a) Fonction croissante sur un intervalle : Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si , lorsque les valeurs de la variable x augmentent alors les valeurs des images f(x) augmentent aussi. Pour tout x1 et x2 de l'intervalle I , si x1 x2 alors f(x1) f(x2).
La lecture graphique permet une première approche de la croissance ou de la décroissance d'une fonction. La courbe de f « monte » sur un intervalle [a ; b] se traduit par : quand les valeurs de x augmentent dans l'intervalle [a ; b], les images f(x) augmentent. On dit alors que la fonction f est croissante sur [a ; b].
Dresser le tableau de variation de f sur I
f étant dérivable sur I, pour toute valeur de x incluse dans I, on a : Si f'(x) > 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement croissante sur I, Si f'(x) < 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement décroissante sur I.
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
La courbe en cloche ou courbe de Gauss est l'une des courbes mathématiques les plus célèbres. On la voit apparaître dans un grand nombre de situations concrètes — en statistiques et en probabilités — et on lui fait souvent dire tout et n'importe quoi.
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Comment lire l'ensemble de définition sur la représentation graphique d'une fonction ? Sur l'axe horizontal, on lit les abscisses des points de la courbe. L'ensemble de définition est l'ensemble de ces abscisses. Il s'écrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
La tendance générale : Pour cela, reliez virtuellement ( ou à l'aide de pointillés discrets) les 2 extrémités de la courbe. Si votre regard monte, elle est CROISSANTE. A l'inverse, si votre regard descend, elle est DECROISSANTE. Enfin, si les deux extrémités sont identiques, elle est STABLE.
Formellement, l'évolution peut être définie comme le changement des fréquences de versions de gènes (allèles) dans une population. Cette dernière se définit comme un ensemble d'organismes de la même espèce se reproduisant entre eux et vivant dans un lieu donné, à un moment donné.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant : si le coefficient directeur a est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive. si le coefficient directeur a est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.
Notamment: parabole, hyperbole, ellipse, logarithme, exponentielle.
Graphique circulaire (description des composantes) Graphique à barres (comparaison des éléments et relations, série chronologique, distribution de fréquences) Graphique linéaire (série chronologique, distribution de fréquences) Nuage de points (analyse des relations)
Analyser des données est un processus consistant à rechercher des régularités dans les données recueillies au cours d'une enquête et à comprendre ce que ces régularités signifient. Interpréter les données est un processus cherchant à expliquer les régularités découvertes.