avec μ1 + μ2 = μ et σ1 + σ2 = σ. Autrement dit, si la somme de deux variables aléatoires indépendantes est normale, alors les deux variables sont de lois normales.
Elle possède un axe de symétrie en la moyenne ou la médiane (elles sont égales) et des intervalles remarquables (68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne.)
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.
On construit alors une nouvelle variable: Z = X − µ σ Alors X ∼ N(µ; σ) est équivalent à Z ∼ N(0; 1). Rappel: on utilisera toujours la lettre Z pour désigner une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite. En particulier: si X ∼ N(µ; σ), la moyenne de la variable X est m(X) = µ l'écart-type de X est s(X) = σ.
La loi normale, ou distribution normale, définit une représentation de données selon laquelle la plupart des valeurs sont regroupées autour de la moyenne et les autres s'en écartent symétriquement des deux côtés.
Le Z score se calcule en additionnant le résultat de 5 ratios qui sont chacun associés à un multiplicateur différent. Ce dernier varie en fonction du type de société (publique, privée ou non-manufacturière).
=LOI.NORMALE.N (x;moyenne;écart_type; Cumul)
Où « x » est un réel, moyenne est un réel, écart_type est un réel strictement positif et Cumul est une variable logique, si Cumul est FAUX , la fonction renvoie la densité de probabilité f , sinon la fonction renvoie la répartition de la densité de probabilité F.
L'écart-type
Il détermine la répartition de points de données par rapport à la moyenne. L'écart-type définit la largeur de la courbe ainsi que la distance entre la moyenne et les points de données. Si la valeur de l'écart-type est faible, la courbe est pointue. S'il est élevé, la courbe s'aplatit.
La loi doit respecter le principe d'égalité (déjà examiné), le principe d'intelligibilité (1), le principe de non rétroactivité (2) et le principe de normativité (3).
Par exemple, la courbe de Gauss permet de calculer la probabilité pour qu'une note, choisie au hasard dans un ensemble de notes, appartienne à un intervalle donné.
Définition du test de Student
Le test de Student est un outil permettant de vérifier une hypothèse formulée sur un jeu de données. Il est principalement utilisé lorsque l'on sait que l'échantillon de données est supposé suivre une loi normale, comme lorsque l'on joue 100 fois de suite au pile ou face.
La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m∈R m ∈ R et σ2 , avec σ>0 , ce que l'on note X↪N(m,σ2) X ↪ N ( m , σ 2 ) si elle est continue et admet pour densité : f(x)=1σ√2πexp(−(x−m)22σ2). f ( x ) = 1 σ 2 π exp
Si une v.a. suit une loi normale N ( μ ; σ 2 ) , alors l'espérance de vaut E ( X ) = μ et sa variance vaut ² V ( x ) = σ ² et son écart-type ² σ ( X ) = σ ² .
L'écart type – identifié par le symbole σ qui se lit sigma – représente une quantité réelle positive, parfois infinie, mesurant la répartition d'une variable aléatoire autour de sa moyenne. Le carré de l'écart type appelé « variance » calcule l'écart de chaque donnée par rapport à cette moyenne.
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
La variance mesure la manière dont des points de données varient par rapport à la moyenne, tandis que l'écart type mesure la distribution de données statistiques. Penchons-nous sur un exemple. Deux groupes d'étudiants ont répondu à un questionnaire noté sur 10 points.
Elle est intimement liée à la fonction de répartition de la loi normale (centrée réduite). erf(x). loi normale de paramètres np et np(1-p) . Lorsque le paramètre n est grand, et que p est proche de 0, on peut approcher la loi binomiale de paramètres n et p par la loi de Poisson de paramètres np.
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.
Pour centrer et réduire la loi normale, on soustrait d'abord 𝜇 = 1 0 5 de chaque côté. Puis, on divise chaque côté par 𝜎 = 3 . Enfin, on remplace par 𝑍 le terme 𝑋 − 𝜇 𝜎 : 𝑃 ( 𝑋 < 1 0 5 ) = 𝑃 ( 𝑋 − 𝜇 < 0 ) = 𝑃 𝑋 − 𝜇 𝜎 < 0 = 𝑃 ( 𝑍 < 0 ) .
Les cotes de rendement (cotes R)
Il est impossible d'obtenir une cote supérieure à 50. La plupart des cotes de rendement pour l'ensemble d'un dossier collégial se situent entre 15 et 35. Une cote R de plus de 40 est extrêmement rare.
Lorsqu'une échelle de mesure d'un score est transformée en score Z, la moyenne est toujours de 0 et l'écart type est toujours égal à 1. De plus, lorsque le score brut est au-dessus de la moyenne, le score Z est positif et négatif lorsque le score brut est sous la moyenne.