2. Si d1 et d2 sont des distances Lipschitz-équivalentes sur un ensemble X, on vérifie que (X,d1) est complet si, et seulement si, (X,d2) l'est. −x − e−y |. Alors l'espace (R,d) n'est pas un
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
L'espace métrique (E1×E2,d) ( E 1 × E 2 , d ) s'appelle espace produit de (E1,d1) ( E 1 , d 1 ) et (E2,d2) ( E 2 , d 2 ) . Si A⊂(E,d) A ⊂ ( E , d ) et x∈E x ∈ E , on appelle distance de x à A , et on note d(x,A) d ( x , A ) , le réel d(x,A)=inf{d(x,a); a∈A}.
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E n'est un espace de Banach, ou qu'un espace métrique n'est pas complet, on peut construire une suite (xn) de Cauchy de E et démontrer qu'elle n'est pas convergente.
si A est d'interieur vide, cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert. en d'autre terme, le meilleur moyen de le montrer est de dir que pour tout element x de A, il n'existe pas de boule aussi petite soit elle autour de x contenue dans A. formellemnt : A d'interieur vide ⇔∀x∈A, ∀ϵ>0, ∃y∈B(x,ϵ) tq y∉A.
un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément. Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble. L'ensemble est dit un sous-ensemble de si et seulement si tous les éléments de sont aussi des éléments de .
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K. Propriétés. Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
On dit que L est un isomorphisme d'espaces de Hilbert si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : (i) l'application L est bijective. (ii) l'application L est une isométrie, i.e. L(x)H2 = xH1 pour tout x ∈ H1. Exemple : l'application S : l2(N;C) → l2(N;C) (dite de ≪ décalage ≫) définie par S((x0,x1,x2,...,xn,...))
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Un sous-ensemble L d'un espace topologique E est dit discret si tout élément x de L est isolé, c'est-à-dire s'il existe un voisinage V de x dans E tel que V∩L={x}. V ∩ L = { x } . Si E est un espace vectoriel normé ou un espace métrique, cela revient à dire qu'il existe r>0 tel que B(x,r)∩L={x}.
La topologie est une branche de la géométrie. Elle se divise elle-même en plusieurs branches : La topologie générale fournit un vocabulaire et un cadre général — une définition axiomatique avec des ensembles — pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.
On dit qu'une suite (un) d'un espace métrique (X,d) est une suite de Cauchy lorsque ∀ε>0, ∃N∈N, ∀p,q≥N, d(up,uq)<ε ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ p , q ≥ N , d ( u p , u q ) < ε (si on se place dans un espace vectoriel normé (E,N) , on remplace d(up,uq) d ( u p , u q ) par N(up−uq) N ( u p − u q ) ).
On peut donc appliquer le thérème du point fixe. Pour tout y ∈ B(f(a),δ) il existe un unique x ∈ B(a, r) tel que φy(x) = x, soit f(x) = y. Notant g(y) ce point fixe, g est donc une bijection de B(f(a),δ) dans son image W ⊂ B(a, r) par g, et g est la réciproque de la restriction de f à W.
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach. Par exemple, (R,|⋅|) , (C,|⋅|) sont complets.
En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse.
Les espaces vectoriels normés de dimension infinie les plus 'simples' sont ceux qu'on appelle espaces de Hilbert, car leur norme dérive d'un produit scalaire entre vecteurs et le produit scalaire permet de faire beaucoup de géométrie comme en dimension finie, avec une notion naturelle d'orthogonalité, des projections . ...
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE.
Pour montrer que φ définit un automorphisme, on vérifie que φ est linéaire, injective et que son image est égale à son espace de définition. Pour montrer que φ définit un forme linéaire, on vérifie que φ est linéaire et que ses valeurs sont dans le corps sous-jacent.
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Une matrice carrée d'ordre est inversible si et seulement si elle est de rang . Ce résultat est immédiat. En effet : Une matrice est inversible si et seulement si l'endomorphisme qui lui est associé par rapport à la base canonique est inversible.
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F n'est pas continue, on peut chercher une suite (xn) de E avec ∥xn∥=1 ‖ x n ‖ = 1 et ∥u(xn)∥→+∞ ‖ u ( x n ) ‖ → + ∞ (voir cet exercice).
Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion, ou encore (par passage aux complémentaires) quand toute famille non vide de parties de E admet un élément maximal pour l'inclusion.
Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide.