Points clés La dérivée d'une fonction en 𝑥 = 𝑥 est définie par l i m → 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ . Une autre définition équivalente de la dérivée est l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 − 𝑥 . Une fonction n'est pas dérivable lorsque cette limite n'existe pas.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0) . Exemple : La fonction f : x -------------> x² est dérivable en tout point A de son domaine de définition R. La tangente T à Cf au point A(a;a²) a pour équation : y=2a(x-a)+a² c'est-à-dire y=2ax-a².
La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k. On dit que f est de classe Ck si f(k) existe et est continue.
Une fonction n'est pas dérivable en a si son graphique a une ligne tangente verticale en a . La ligne tangente à la courbe devient plus raide à mesure que x se rapproche de a jusqu'à ce qu'elle devienne une ligne verticale. Puisque la pente d’une ligne verticale n’est pas définie, la fonction n’est pas dérivable dans ce cas.
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même. Si x < 0, sa dérivée vaut −1. Si x > 0, sa dérivée vaut 1. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Exemple. Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f ( x ) = 8 x + 32 . La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci. La quantité est positive ou nulle si et seulement si 8 x est supérieur ou égal à − 32 .
En mathématiques, la fonction de Weierstrass est un exemple de fonction à valeur réelle qui est continue partout mais différentiable nulle part. C'est un exemple de courbe fractale. Il porte le nom de son découvreur Karl Weierstrass. Tracé de la fonction de Weierstrass sur l'intervalle [−2, 2].
La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que f:I→C f : I → C est dérivable si et seulement Re(f) ℜ e ( f ) et Im(f) ℑ m ( f ) sont dérivables.
Identifiez les valeurs de pour lesquelles est continue mais non différentiable. Étape 1 : Identifiez tous les points sur le graphique de la fonction qui se produisent à un coin pointu ou à une pointe ou auxquels la ligne tangente semble être verticale . Le point se trouve à un angle aigu, donc la fonction n'est probablement pas dérivable à cette valeur.
Un exemple de fonction qui est partout continue mais qui ne parvient pas à être dérivable exactement en deux points est gx = x - 1 + x + 1 .
Lorsque l'on définit une fonction, on l'écrit généralement sous la forme 𝑓 ∶ 𝑋 ⟶ 𝑌 . Cela signifie que pour tout élément 𝑥 ∈ 𝑋 , on associe par la fonction 𝑓 un élément 𝑦 ∈ 𝑌 . Nous écrivons cela comme 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑦 .
Une fonction définie par morceaux est une fonction dont l'expression dépend de l'intervalle auquel appartient la variable. Par exemple la fonction f telle que f(x) = 2x si x < 0 et f(x) = 3x si x ≥ 0, est une fonction définie par morceaux.
On appelle f fonction définie sur D , tout procédé de calcul, qui à chaque réel x , lui associe un réel unique noté f(x) .
Par conséquent, bien que la fonction valeur absolue soit continue en 0, elle n’y est pas dérivable . Même sans le formalisme, on peut voir que dans les « virages serrés », la ligne tangente veut avoir deux pentes distinctes : la pente telle que conçue depuis la gauche et la pente telle que conçue depuis la droite.
Ainsi un point où la fonction n'est pas dérivable est un point où cette limite n'existe pas, c'est-à-dire soit infini (cas d'une tangente verticale), où la fonction est discontinue, soit où il existe deux limites unilatérales différentes ( une cuspide, comme pour f(x)=|x| à 0).
Par conséquent, l'ensemble de définition de 𝑓 est l'ensemble des nombres réels, ℝ . Pour trouver l'ensemble de définition de la dérivée, nous devons considérer les points 𝑥 auxquels 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 3 √ 𝑥 n'est pas définie. Le seul point où elle n'est pas définie est lorsque le dénominateur est égal à zéro.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Fonction constante : La fonction polynomiale du degré zéro. Fonction linéaire : La fonction polynomiale de degré un. Fonction quadratique : La fonction polynomiale de degré deux. Fonction cubique : La fonction polynomiale de degré trois.
Une fonction est dite continûment différentiable si sa dérivée est également une fonction continue ; il existe des fonctions qui sont différentiables mais pas continûment différentiables (un exemple est donné dans la section Classes de différentiabilité).
En termes simples, différentiable signifie que la dérivée existe en chaque point de son domaine. Par conséquent, la seule façon pour la dérivée d'exister est que la fonction existe également (c'est-à-dire qu'elle soit continue) sur son domaine . Ainsi, une fonction différentiable est aussi une fonction continue.
Comparez f(a) et limx→af(x). Si limx→af(x)≠f(a), alors la fonction n'est pas continue en a . Si limx→af(x)=f(a), alors la fonction est continue en a.