Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux. Exemple : la courbe de la fonction f(x) = |x| présente en 0 un point anguleux, et cette fonction n'est pas dérivable en 0. n'est pas dérivable en 0. En effet,f(0 + h) − f(0) h = sin ( 1 h), qui n'a pas de limite pour h → 0.
Points anguleux. Définition : Un point du graphe d'une fonction est un point anguleux ssi la dérivée à gauche de ce point n'est pas égale à la dérivée à droite et que l'une de ces dérivées au moins n'est pas infinie. Les 2 exemples suivants prouvent la nécessité des hypothèses.
On suppose la fonction f dérivable en a. Elle admet donc une tangente au point A d'abscisse a, d'équation y = mx + p. l'équation : f(a) = f'(a) a + b d'où on tire b = f(a) – f'(a) a.
Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 appartenant à 𝐼 , alors 𝑓 est convexe sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 appartenant à 𝐼 , alors 𝑓 est concave sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 0 ou n'est pas défini, un point d'inflexion peut exister (ainsi, cette condition seule ne garantit pas la présence d'un point d'inflexion).
Points clés
La dérivée d'une fonction en 𝑥 = 𝑥 est définie par l i m → 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ . Une autre définition équivalente de la dérivée est l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 − 𝑥 . Une fonction n'est pas dérivable lorsque cette limite n'existe pas.
point anguleux. Un point anguleux sur une courbe est un point admettant des demi-tangentes à droite et à gauche non colinéaires , ce qui correspond à l'existence de dérivées à droite et à gauche différentes pour la fonction explicite associée.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Rappeler la condition d'appartenance
On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y. Le point A\left(0;2\right) appartient à C_f si et seulement si 0\in D_f et f\left(0\right) = 2.
Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , alors 𝑓 est convexe sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , alors 𝑓 est concave sur 𝐼 . Si 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 0 ou n'est pas définie, un point d'inflexion peut exister (Attention cette condition est nécessaire mais pas suffisante).
On considère une fonction f dont on peut calculer la dérivée f′ et la dérivée seconde f′′. Dans un repère, la courbe d'équation y = f(x) représente la fonction f. Un point stationnaire est un point où la dérivée s'annule : f′(x)=0. En un point stationnaire, la tangente à la courbe est horizontale.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Définition : Continuité d'une fonction en un point
On dit qu'une fonction à valeur réelle 𝑓 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 si l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑎 ) .
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction change de convexité. La convexité d'une fonction sur un intervalle est liée au signe de la dérivée seconde sur cet intervalle. Donc si la dérivée seconde change de signe en un point, alors la fonction change de convexité en ce point.
On démontre qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
Son allure-sa vitesse : Plus la pente entre les points est forte, plus la courbe est RAPIDE. Si les points progressent à intervalles égaux vers le haut ou vers le bas ou ne changent pas, la cour est CONSTANTE.
Les points d'intersection du graphique d'une fonction f avec l'axe horizontal sont tous les points du graphique de la forme (a,0). De plus, la valeur x=a est un zéro de la fonction f, car f(a)=0. Ainsi, le nombre de points d'intersection du graphique avec l'axe des x est égal au nombre de zéros de la fonction.
Dans l'alphabet, on a dans l'ordre : x, y et z. y est après x, c'est l'image de x. x est avant y, c'est l'antécédent de y.
Si b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire et la représentation graphique est une droite passant par l'origine O. Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
(a) La courbe Cf admet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s'annule, c'est à dire en −2 et en 1 3 (b) L'équation de la tangente en 1 est T : y = f(1)(x − 1) + f(1).
Il s'agit pour la dérivée à droite de la demi-droite d'équation y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , pour x≥x0. x ≥ x 0 . (on a la même équation pour la demi-tangente à gauche, mais on se restreint à x≤x0 x ≤ x 0 ).
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .