De manière générale, un nombre entier est un nombre décimal particulier où la virgule n'est pas notée. 1 , 6666 … 1,6666… 1,6666… n'est pas un nombre décimal car il a un nombre infini de 6 après la virgule.
Un nombre décimal s'écrit à l'aide des 10 chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9). Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
Un nombre décimal est un nombre qui n'est pas un entier, et dont l'écriture comporte obligatoirement une virgule après le chiffre des unités (ici 5 dans l'exemple), suivie d'au moins un chiffre autre que 0. Par exemple : 15 est un entier.
On appelle ces nombres : les entiers naturels. Mais parfois, il n'y a rien à compter, le zéro est aussi un nombre entier naturel. C'est d'ailleurs le tout premier. L'ensemble des nombres entiers naturels se note ℕ (vient de l'italien « Naturale »).
Un nombre décimal est un nombre rationnel. Il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. Il existe des nombres rationnels qui ne sont ni entiers, ni décimaux. Un nombre rationnel peut s'écrire de plusieurs de manières différentes.
Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers, et donc l'ensemble des nombres naturels. Cependant, contrairement aux nombres de ces 2 ensembles, les nombres rationnels peuvent avoir une partie décimale non nulle. Le développement décimal d'un nombre rationnel peut être fini ou infini et périodique.
Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal. 6. L'inverse d'un nombre décimal peut être un nombre entier.
Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
Nombre entier :
Les nombres entiers sont les nombres qui ne possèdent pas de chiffre après la virgule. Les nombres entiers permettent de compter.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s'écrire exactement avec un nombre fini après la virgule. 34 est la partie entière, et 68 est la partie décimale. Les décimales, ce sont tous les chiffres après la virgule.
« Un nombre décimal est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule ». En tant que définition, elle comporte un « si et seulement si » implicite. Une définition caractérise l'objet qu'elle définit. Conséquence : si un nombre a une infinité de chiffres après la virgule, alors il n'est pas décimal…
En d'autres termes, un nombre rationnel est positif si son numérateur et son dénominateur ont tous deux le même signe. Parmi les exemples de nombres rationnels positifs, citons 0,2, 6 et 2/5.
Écriture périodique d'un quotient non-décimal
On dit que l'écriture est périodique; la période est de 6 pour le quotient de 43 par 7. ce nombre 6 indique que le même groupe de 6 chiffres peut être répété à l'infini dans l'écriture. On ne peut donc pas écrire ce nombre, mais on peut savoir quels sont tous ses chiffres.
Tous les nombres entiers peuvent s'écrire sous forme décimale. Ex : 5 = 5,0 ou 14 = 14,000 …... ou 3,5 = 3,50000 ….. Dans les nombres décimaux, la virgule indique l'unité de mesure dans laquelle on parle.
Un entier est un nombre sans partie décimale ou avec une partie décimale nulle (pas une fraction), qui peut être positif, négatif ou égal à zéro. Par exemple : -5, 1, 5, 8, 97 et 3 043. Les nombres suivants ne sont pas des nombres entiers : -1,43, 1 3/4, 3,14, 0,09 et 5 643,1.
Comment savoir si un nombre est un décimal ? Ce sont les nombres « à virgules » finis. Pour savoir si une fraction est un décimal, il faut décomposer le dénominateur en un produit de 2×5 : c'est le seul produit qui donne 10.
Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs).
Zéro est le premier nombre entier naturel, dans l'ordre usuel.
Un entier naturel est un nombre entier positif et sans virgule.
, le dénominateur, est un entier relatif non nul. sont des nombres rationnels.
des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement. des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
Par exemple : l'opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0. l'opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.
Les nombres décimaux
Certains nombres s'écrivent avec une virgule, comme par exemple 41,7. Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule. Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres à droite de la virgule.