Z(i) = {a + bi, a et b entiers relatifs} ⊂ C, est un anneau unitaire pour l'addition et la multiplication usuelles des nombres complexes. Il contient 0 (a = b = 0) et 1, élément unité obtenu pour a = 1, b = 0. Ses éléments sont les entiers de Gauss.
Articles détaillés : Corps commutatif et Corps fini. ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
On note Z/nZ l'ensemble des classes d'équivalence : La classe d'équivalence d'un entier x est le sous-ensemble de Z formé des entiers de la forme kn+x avec k ∈ Z. Dans la suite, on représentera la classe d'équivalence de x par le reste r ∈ {0,...n − 1} de la division euclidienne de x par n.
Les idéaux maximaux de Z/nZ sont les pZ/nZ, avec p|n premier. Exemple. Les idéaux de Z/8Z sont {0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z et son seul idéal maximal est 2Z/8Z. automorphisme est réalisé par σ : x → (σ(x) :→ xy).
En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs.
Cela s'appelle l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence congruence. Ici, E=Z, R c'est 2Z.
Construction de l'ensemble Z
des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.
Les généralités sur les groupes, sous-groupes, etc. En particulier le fait que, si on a deux sous-groupes H, K d'un groupe abélien G, H ∩K et H +K sont des sous-groupes. On note nZ ou (n) l'ensemble des multiples de l'entier n (i.e. l'ensemble des nx, pour x ∈ Z). Il est clair que c'est un sous-groupe additif de Z.
Définition 1.1.1. Un anneau (resp. anneau commutatif) est un groupe abélien (A,+) muni d'une seconde opération m : A×A → A, notée multipli- cativement (i.e. le plus souvent sans symbole : m(a, b) = ab ou avec un point si besoin), qui est associative (resp.
Un anneau est dit intègre si un produit nul nécessite que l'un des facteurs soit nul (égal à l'élément neutre pour l'addition). Lorsqu'un produit ab est nul alors que ni a, ni b ne le sont, on dit que a et b sont des diviseurs de zéro.
Partie stable par une LCE, loi induite
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition externe ⊥ à opérateurs dans X. Soit F une partie de E. Si F est une partie stable par ⊥ , alors la restriction de ⊥ à F est une loi de composition externe sur F dite « loi induite par ⊥ dans F ».
On dit que a ∈ Z/nZ est inversible s'il existe b ∈ Z/nZ, appelé l'inverse de a et noté a−1, tel que a × b = 1. Les inversibles de Z/nZ sont exactement les k, où k est un entier premier avec n. Démonstration. C'est une reformulation du théorème de Bézout, en effet on a les équivalences suivantes.
18 et 49 sont premiers entre eux, et donc ¯¯¯¯¯¯18 18 ¯ est inversible dans Z/49Z Z / 49 Z . Pour trouver son inverse, il faut résoudre l'équation de Bezout 18u+49v=1 18 u + 49 v = 1 . Avec l'algorithme d'Euclide ou un logiciel, on trouve que 7×49−19×18=1 7 × 49 − 19 × 18 = 1 .
L'anneau A est euclidien pour |N| si et seulement si pour tout élément k du corps, il existe au moins un élément q de l'anneau tel que |N(k – q)| < 1. En effet, pour tous b ≠ 0, a et q dans A, |N(a – bq)| < |N(b)| équivaut (par multiplicativité de N) à |N(a/b – q)| < 1, or K est le corps des fractions de A.
L'ensemble Z vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). N est inclus dans Z. L'ensemble Q a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction).
Giuseppe Peano et Richard Dedekind ont axiomatisé l'arithmétique à la fin du XIX e siècle.
L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit fini ou infini suivant que son ordre est fini ou infini. Si un élément a d'un groupe G engendre dans G un sous-groupe (monogène) fini d'ordre d, on dit que a est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre d.
On définit la classe d'équivalence [x] d'un élément x de E comme l'ensemble des y de E tels que x ~ y : On appelle représentant de [x] n'importe quel élément de [x], et système de représentants des classes toute partie de E qui contient exactement un représentant par classe.
Soit G un groupe. On dit qu'une partie A de G est génératrice de G, ou engendre G, si le plus petit sous-groupe de G qui contient A est G tout entier. Autrement dit, A engendre G si, pour tout g∈G g ∈ G , il existe n∈N n ∈ N et a1,…,an∈G a 1 , … , a n ∈ G tel que g=a1⋯an g = a 1 ⋯ a n .
anneau n.m. Cercle de matière dure, qui sert à retenir quelque chose. anneaux n.m. pl.
Les idéaux de l'anneau K[X]/ < P > sont les < Q >/< P > tels que Q|P. Ainsi, si P est irréductible, K[X]/ < P > n'a donc pour idéaux que {0} et lui-même, c'est donc un corps. Réciproquement, si K[X]/ < P > est un corps, P est irréductible.