En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes a été progressivement introduit au XVIᵉ siècle par l’école mathématique italienne afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
En fait, 𝑖 est lui-même un nombre. Au sein des réels, si l'on met un nombre au carré, il est forcément positif. Avec les nombres imaginaires, un carré négatif est possible s'il contient 𝑖. Par exemple, si l'on a l'équation x²=−4, alors les solutions sont 2𝑖 et −2𝑖.
Disons qu'en général, 0 est considéré et comme un réel, et comme un imaginaire pur. S'il y a un doute, généralement on précise ("imaginaire pur non nul", "réel non nul").
Euler (1707‑1783), lui‑même, utilise ces nombres dans bien des circonstances. Il remarque que la notation −1 n'est pas cohérente avec toutes les propriétés des racines carrées réelles et propose de la remplacer par i. Le nombre i vérifie donc i2=−1.
Le nombre i prend naissance suite à la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré, des équations polynomiales avec une racine cubique. En 1637, le philosophe Français René Descartes (1595-1650) baptise ces valeurs impossibles des nombres imaginaires.
René Descartes les baptise « nombres imaginaires » (1637).
Ce sont les Babyloniens qui vont les premiers utiliser le zéro (vers le IIIe siècle après J. -C.), non pas comme un nombre ni même un chiffre, mais en tant que marqueur signifiant l'absence.
Celle-ci se base simplement sur des matrices de dimensions 2. On "note" la première matrice comme étant 1 et la deuxième matrice comme étant i. On remarque évidemment que i²=-1. On définit C comme étant l'ensemble des combinaisons (par addition, par multiplication, par multiplicication par un réel) de 1 et de i.
Lorsqu'un nombre complexe est écrit sous la forme a+bi a + b i , où a,b∈R a , b ∈ R , on appelle a la partie réelle et b la partie imaginaire. (Notons que i n'est pas inclus dans la partie imaginaire.)
On note N∗ , l'ensemble des nombres entiers naturels dont on a enlevé la valeur 0 . N∗={1,2,3,4,5,...} N ∗ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . }
Ils servent a la base a résoudre des équations du troisième ou du quatrième degré ( méthode de Ludovivo Ferrari) à l'aide de notamment des carres négatifs. Les mathématiciens ont trouvé ça amusant et intéressant de pouvoir résoudre des équations du troisième degré et ont donc invente des nombres complexes dans ce but .
pour leur écriture décimale ont donc un nombre infini de chiffres après la virgule et donc n'appartiennent pas à l'ensemble D. Les ensembles N et Z sont inclus dans l'ensemble D (car tous les entiers sont des nombres décimaux qui n'ont pas de chiffres après la virgule).
Locution nominale
(Analyse) Droite représentant les nombres imaginaires dans le plan complexe, orthogonale à l'axe réel.
- Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel. - Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Selon que le nombre infini de 9 représenté par les points de suspension de 0,999... est plus ou moins grand, on obtient soit un nombre réel qui est égal à 1, soit un nombre strictement inférieur à 1. Cela provient de ce que si on place H chiffres 9 dans 0,999..., alors on a 0,999...
Lorsque l'on met x à la puissance 0, on effectue donc un produit vide. Or, une somme vide, sans aucun terme, est égale à l'élément neutre pour l'addition, c'est-à-dire 0. Ainsi, un produit de 0 terme, vide, est égal à l'élément neutre pour la multiplication, c'est-à-dire 1.22 août 2006 - Google.com.
En effet, 0²=0 et c'est le seul nombre qui a pour carré 0.
Le symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois par le mathématicien John Wallis, en 1655.
Les nombres plus petits que 0 sont appelés des nombres négatifs, on les note avec le signe "-". Le nombre 0 est à la fois positif et négatif.
Le zéro n'est plus seulement un symbole utilisé pour marquer un vide, mais il devient un nombre à part entière. En 628, dans un traité d'astronomie appelé le Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta (598 ; 660) définira le zéro comme la soustraction d'un nombre par lui-même (a - a = 0).
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
On les croyait créés par les grands mathématiciens arabes, en réalité les chiffres sont d'origine indienne. C'est en effet l'Extrême-Orient qui invente l'écriture décimale positionnelle au IIIe siècle avant J. -C.
DÉFINITION 1. On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.