Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note : ou lim u = I. La limite d'une suite est unique. Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
f(x) = x + 1/x n'a pas de limite quand x tend vers + l'infini. Elle a une asymptote mais qui n'est pas verticale. la limite de f quand x tend vers … ce qu'on veut, n'existe pas.
Limite infinie
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang). On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.
Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale (−1) prend alternativement les valeurs –1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
A partir de la courbe représentative d'une fonction, on détermine sa limite en un point où elle n'est pas définie. Le fait qu'une fonction ne soit pas définie en un point ne signifie pas que la limite de la fonction en ce point n'existe pas !
La fonction sin◦cos n'admet pas de limite en +∞. = sin(0) = 0. Donc (sin(cos(vn)))n∈N converge vers 0. Ainsi, on a trouvé deux suites de réels tendant vers +∞ dont les images par sin◦cos convergent vers des limites différentes (sin(1) = 0).
C'est une forme indéterminée comme "infini/infini" ou "infini - infini" ou "0/0" ou encore "1^(infini)".
Plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l'écart entre le rapport de deux de ses termes successifs et le nombre d'or s'amenuise. Par exemple, 21/13= 1,615…, alors que le rapport suivant s'en rapproche davantage, 34/21=1,619…, et ceci de manière infinie.
Une application f : A → N admet une limite en p si (et seulement si) pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tous x, y dans A ∩ B(p ; δ), on ait d(f(x) ; f(y)) < ε. (Ce théorème se généralise au cas où M est seulement un espace topologique, en remplaçant les boules B(p ; δ) par des voisinages de p.)
Pour tout réel x, la fonction cosinus est continue au point x, donc sa limite en ce point est cos(x). Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en ±∞.
La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
Conclure. Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante. Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante. Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
La suite de Fibonacci s'est rendue célèbre par ses représentations multiples en relation avec ce nombre mythique. On la trouve dans la fleur de tournesol, dans la formation de certains coquillages, sur l'ananas, le chou romain (ci-dessous) ou sur la pomme de pin qui présentent tous une spirale d'or.
Fibonacci et ses écrits ont été importants pour le développement des mathématiques en Europe. Il a aidé à introduire le système de numération hindou-arabe ou indo-arabe à de nombreuses personnes en Occident. Ce système était beaucoup plus facile que les chiffres romains utilisés en Italie à l'époque.
Sur les cônes de pin, les ananas, ou les fleurs de la famille des tournesols, on observe des motifs en forme de spirales, qui s'organisent en deux réseaux qui se croisent. Si la curiosité nous pousse à compter les spirales de ces réseaux, on obtient très souvent deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.