Monotonie en analyse réelle. Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment.
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
On dit que f est monotone sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≤ 0, alors f est decroissante sur I.
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
Contraire : brio, diversité, fantaisie, imprévu, variété. – Littéraire : vivacité.
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d'une fonction, on peut étudier sa dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) . Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert, alors 𝑓 est strictement croissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 .
1. Qui est toujours sur le même ton, qui offre une grande uniformité de son, de rythme : Chant monotone. 2. Qui lasse par le manque de variété dans les intonations ou les inflexions : Acteur monotone.
Une application simple du théorème de Baire montre que l'ensemble des fonctions monotones quelque part est maigre dans l'ensemble des fonctions continues sur [a,b], par exemple.
Étudier la monotonie d'une suite, c'est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre. La suite (un) définie par avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur . Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q. (un) est décroissante lorsque .
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
Caractère monotone, uniforme, qui est toujours identique, pareil, sur le même ton, pas varié, pas différent.
Qui est toujours sur le même ton, ou dont le ton est peu varié. ➙ monocorde.
Locution conjonctive
Dans l'éventualité où ; à supposer que.
Synonyme : affligeant, angoissant, attristant, déplorable, déprimant, désolant, dramatique, funeste, lamentable, malheureux, navrant, pitoyable.
Soient a et b deux points de I et k un nombre compris entre ƒ(a) et ƒ(b). De plus, on suppose que ƒ est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique point c compris entre a et b tel que ƒ(c) = k. Autrement dit, l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution comprise entre a et b.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
Définition de antonyme nom masculin et adjectif
didactique Mot qui, par le sens, s'oppose directement à un autre (opposé à synonyme). ➙ contraire.
Contraire : soir, soirée. – Littéraire : déclin du jour.
Nom commun. (Linguistique) Fait pour un mot de signifier une chose et son contraire, ambivalence de celui-ci autorisant des interprétations opposées. Crépuscule, louer, remercier, trouvaille, ainsi que pharmakon en grec et crise en chinois, sont des exemples classiques d'ambivalence, d'ambiguïté et d'énantiosémie.