On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. ( )≠ 0;0 ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Vecteur directeur :
Le vecteur directeur d'une droite n'est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur. Si on a deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v directeurs de la droite (d), alors ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires et on a ⃗ ⃗ det(u ,v )=0.
On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.
La direction d'un vecteur est la mesure de l'angle qu'il fait avec une ligne horizontale . L'une des formules suivantes peut être utilisée pour trouver la direction d'un vecteur : tan θ = yx , où est le changement horizontal et est le changement vertical.
Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit un point de l'espace et {⃗ un vecteur non nul de l'espace.
Le vecteur ⃑ 𝑑 est appelé vecteur directeur de la droite. Si le point 𝑃 ( 𝑥 , 𝑦 ) se trouve sur la droite parallèle au vecteur non nul ⃑ 𝑑 , alors nous pouvons trouver le vecteur position de n'importe quel point sur la droite en ajoutant un multiple scalaire de ⃑ 𝑑 au vecteur position de 𝑃 : ⃑ 𝑟 = ( 𝑥 , 𝑦 ) .
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
On rappelle qu'un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan \left(ABC\right) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Premièrement, le vecteur normal est le produit croisé de deux vecteurs directeurs sur le plan (pas les deux dans la même direction !). En utilisant la méthode de l’exemple ci-dessus, nous pouvons trouver d = A . P = 5. Ainsi l'équation est A . X = 5, ce qui est identique à l'une des équations de l'exemple précédent.
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Explication : Pour trouver le vecteur directionnel, soustrayez les coordonnées du point initial des coordonnées du point terminal .
Le vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul parallèle à la droite. Afin de trouver le vecteur directeur, ⃑ 𝑑 , de la droite passant par les points 𝐴 et 𝐵 , on remarque que cette droite doit avoir la même direction que le vecteur allant de 𝐴 à 𝐵 .
(xB - xA ; yB - yA) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite. Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) . Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
Le vecteur directeur de toute ligne (non verticale) dans l'espace 2 est simplement (1,t) où t est la pente . Vous le savez car pour chaque unité de x, vous déplacez t unités de y, ce qui est la définition de la pente. Si la ligne est verticale, un vecteur directeur est simplement (0,1).
Détermination du coefficient directeur de la droite : Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. L'équation est de la forme y = px + d. L'ordonnée à l'origine est 1.
En utilisant la formule. Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Comment trouver l'équation paramétrique d'une droite ? Pour trouver l'équation paramétrique d'une droite, il faut les coordonnées de deux points ou d'un point et d'un vecteur directeur. Il faut ensuite remplacer les valeurs pertinentes dans une formule.
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.