En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur x ∈ Rn non nul on a xT Ax > 0.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique f ∈ L(E)/ d'une matrice symétrique sont 2 `a 2 orthogonaux. Tout endomorphisme symétrique f ∈ L(E) est diagonalisable dans une base orthonormée.
Re : Déterminer la matrice d'une symétrie
(x-y)u+(-x+2y) a pour coordonnées (x-y)(2;1)+(-x+2y)(1;1)=(2(x-y)+(-x+2y);(x-y)+(-x+2y))=(2x-2y-x+2y;x-y-x+2y)=(x;y) donc (x-y)u+(-x+2y)v est bien égal à w.
Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A⊤ = –A. ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –a.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Si A est symétrique réelle et si B est son inverse, on a t(AB) = t(BA) = tI = I, c'est à dire tBtA = tAtB = I, mais comme A est symétrique tA = A, donc tBA = AtB = I : tB estinverse de A. l'unicité de l'inverse mène à tB=B, donc B est symétrique.
On dit qu'une matrice orthogonale est positive si son déterminant vaut 1 et qu'elle est négative s'il vaut −1. (ii) Le déterminant d'une isométrie vectorielle vaut 1 ou −1. On dit qu'une isométrie vectorielle est positive si son déterminant vaut 1 et qu'elle est négative s'il vaut −1.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Définition. Un endomorphisme f de E est dit symétrique si : ∀(x, y) ∈ E2, 〈f(x),y〉 = 〈x, f(y)〉.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Le spectre de T, noté σT, est l'ensemble des racines du polynôme caractéristique de T. Ainsi, les éléments du spectre sont exactement les valeurs propres de T, et la multiplicité d'une valeur propre λ dans le spectre est égale à la dimension du sous-espace caractéristique de T associé à λ .
Une matrice symétrique est dite « définie négative » si pour tout vecteur X n 1), le produit X AX 0. Elle est « semi-définie négative » si X AX 0 pour tout X.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Une application f du plan dans lui-même est appelée une isométrie si elle conserve les longueurs4, c'est-`a-dire si l'on a, pour tous A, B dans P, f(A)f(B) = AB.
Si f fixe deux points distincts a1 et a2 alors f est soit l'identité soit la réflexion d'axe (a1a2). Si f fixe le point a1 de X alors f est soit l'identité, soit une réflexion dont l'axe passe par a1, soit une rotation qui laisse a1 invariant.
Une matrice positive est définie positive si et seulement si sa racine carrée positive est inversible. Cette propriété est utilisée pour la décomposition polaire (voir infra). Inégalité de Hadamard : le déterminant d'une matrice définie positive est inférieur ou égal au produit de ses éléments diagonaux.
Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A−1 = tA. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
La matrice d'un produit scalaire dans une base quelconque est toujours inversible. En effet, si AX = 0, alors `a fortiori t XAX = 0, c'est `a dire x2 = 0, et donc X = 0. ∀X,Y ∈ Mn1(R), t XAY = t XBY Alors A = B. Si A = Mate((|)), B = Mate((|)), P = Pe↦→f , alors B = t P AP .