Définition d'un vecteur En effet, un vecteur est défini par sa longueur (longueur du segment), sa direction (position, orientation de la flèche) et son sens (vers la droite ou la gauche).
Définition de vecteur nom masculin
Mathématiques Segment de droite orienté, formant un être mathématique sur lequel on peut effectuer des opérations. Grandeur, direction, sens d'un vecteur.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Un vecteur a un sens, une direction et une longueur. Pour les vecteurs, les mathématiques ont une écriture et un vocabulaire spécifiques. Un vecteur est noté A B → \overrightarrow{AB} AB ou u .
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Et pour cela, rappelons que les composantes d'un vecteur d'une origine 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un jusqu'à une extrémité 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux sont les différences entre les abscisses 𝑥 et les ordonnées 𝑦, respectivement.
Un vecteur libre caractérise donc une grandeur, une direction et un sens mais son origine ou son extrémité peut être fixée librement. Tout vecteur libre peut être représenté par un élément quelconque de l'ensemble des vecteurs géométriques qu'il désigne.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur , on utilise la notation ou . On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Le vecteur a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA ).
Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Caractéristiques du vecteur force
il a même direction que cette force. il a même sens que cette force. sa norme correspond à la valeur de la force. son origine coïncide avec le point d'application de la force.
Vecteurs opposés
On dit que les vecteurs A B → et B A → sont opposés et on note A B → = − B A → .
libre si elle n'est pas liée. Autrement dit, la famille (V1,…,Vn) ( V 1 , … , V n ) est libre si, dès qu'on a une égalité a1V1+⋯+anVn=0 a 1 V 1 + ⋯ + a n V n = 0 , alors nécessairement a1=⋯=an=0 a 1 = ⋯ = a n = 0 .
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
1.2 Calcul de la distance AB
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan. La distance de A à B est : AB = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2.
La norme d'un vecteur est sa longueur et peut être calculée en adaptant le théorème de Pythagore en trois dimensions. Si ⃑ 𝐴 = ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) , alors ‖ ‖ ⃑ 𝐴 ‖ ‖ = √ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 .
Les forces étant de nature vectorielle, elles s'annulent lorsque la somme vectorielle des vecteurs qui les représentent est nulle. La somme vectorielle est réalisée en plaçant les flèches des vecteurs force bout à bout. Cette somme est nulle lorsque les flèches se rejoignent.
On appelle vecteur normal de (P) tout vecteur (non nul) orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Généralement, on peut obtenir un vecteur normal de deux façons différentes : en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan; à partir d'une équation cartésienne du plan.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Pour faire simple disons que la direction est l'orientation d'un segment dans l'espace et son sens un des côtés du segment, par exemple la direction verticale, horizontale, oblique (par rapport au sol) et son sens sera le haut, le bas, l'ouest, etc.
Sur un schéma, on peut trouver la norme de la vitesse grâce à une échelle qui est donnée : par exemple si l'échelle indique que 1 cm correspond à 10 m/s alors si la longueur du vecteur sur le schéma est de 2 cm alors sa norme est de 20 m/s.
Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls. Inversément, une famille est liée lorsqu'il existe une combili de ses vecteurs qui donne 0 et dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
Le vecteur b a la même direction que a. Son sens dépend du signe de m : si m est positif, alors b aura le même sens que a, alors que si m est négatif, alors b sera de sens opposé à celui de a.
Dans la mesure où le vecteur ⃑ 𝑣 pointe vers le bas, il peut être tentant de se dire que le signe de la norme est négatif. Cependant, il faut se rappeler qu'une longueur, donc la norme, ne peut pas être négative.